(课件网) 1.4角平分线 (第1课时) 第一章 等腰三角形 学习目标 会叙述角平分线的性质定理及判定定理 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理 1 2 能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题 3 知识回顾 角平分线是如何定义的？ 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 知识回顾 还记得用尺规作∠AOB平分线步骤吗？ （1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使_____； （2）分别以_____为圆心，以_____长为半径作弧，弧在∠AOB内部交于一点C； （3）作_____，OC就是∠AOB平分线 OD＝OE 点D，E 射线 OC A B D E C O 大于 DE 知识探究 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？ 角平分线上的点到角两边的距离相等. 通过角的轴对称性，利用折纸的方法结合对称的性质得到的. A O B C D E 知识探究 已知：如图， OC 是∠AOB 的角平分线， 点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E. 求证：PD＝PE. A O B P E D C 1 2 证明：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°， ∵ ∠1＝∠2 ，OP＝OP， ∴ △PDO≌△PEO (AAS) ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 知识探究 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的性质定理 符号语言：∵OP平分∠AOB， 且 PD⊥OA，PC⊥OB， ∴ PD＝PC. 2 1 C D P O B A 证明线段相等的方法： 全等三角形；等腰三角形；线段的垂直平分线；等量代换； 角平分线 知识探究 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它. 逆命题：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上. 运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理. 假命题 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它. 角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点 反例：如图，GI⊥AB，GH⊥BE，且 GH＝GI， 但 BG 不是的∠ABC 平分线 知识探究 典型例题 已知：如图， 点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，且 PD＝PE. 求证：OP 平分∠AOB. A O B P E D C 1 2 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D，E， ∴ ∠ODP＝∠OEP＝90°. ∵ PD＝PE，OP＝OP， ∴ Rt △DOP≌Rt △ EOP (HL) ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴ OP 平分∠AOB. 知识探究 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线的判定定理 符号语言：∵PD⊥OA，PC⊥OB，且 PD＝PC ， ∴点 P 在∠AOB的平分线上. 2 1 C D P O B A 证明角相等的方法： 平行线；全等三角形；等腰三角形；等量代换； 角平分线 典型例题 例1 如图，在△ABC 中，∠BAC＝60°，点 D 在 BC 上，AD＝10，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为 E，F，且 DE＝DF，求 DE 的长. E A F C B D 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E、F，且DE＝DF. ∴AD 平分∠BAC (在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). ∵∠BAC＝ 60°，∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°，AD ＝10， ∴DE＝ (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). 当 堂 检 测 当堂检测 C 当堂检测 D 当堂检测 2.5 当堂检测 当堂检测 角平分线判定定理： 角平分线 角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 几何语言： 如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE. A O B P E D C 在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线 ... ...
