(课件网) 1.4角平分线 (第2课时) 第一章 等腰三角形 学习目标 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等” 会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题 1 2 知识回顾 回顾一下角平分线的的性质定理和判定定理 性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 经常用来证明两条线段相等 判定：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 经常用来证明两角相等 知识回顾 三角形的边的垂直平分线有什么性质？三角形三条边的垂直平分线有什么性质？ 三角形的边的垂直平分线上的点到这条边两个顶点的距离相等. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个 顶点的距离相等. 三角形的三条角平分线又有什么性质呢？ 典型例题 例2 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. AD 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： AP 是∠BAC 的平分线 BP 是∠ABC 的平分线 PI＝PH PG＝PI PH＝PG 点 P 在∠BCA的平分线上 A B C P F H D E I G 典型例题 例2 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，过点 P 分别作AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点 P，且 PD＝PE＝PF. P D F E M N B A C 证明：∵BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， 且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 即∠A的平分线经过点 P . 知识探究 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 三角形三个内角的平分线的性质 符号语言：①在△ABC 中，∵BD，CE，AG 分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线， ∴ BD，CE，AG 相交于点 P. 这个点叫做三角形的内心 A B C P F H D E I G ②若过点 P 作 PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为点M，N，F， 则 PM＝PN＝PF. 三角形的三条角平分线的交点只能在三角形的内部 知识探究 三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形_____一点 交于三角形 _____一点 钝角三角形 交于三角形_____一点 直角三角形 交于斜边的_____ 交点性质 到三角形_____的距离相等 到三角形_____ ____的距离相等 内 外 中点 内 三个顶点 三 边 典型例题 例3 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为点 E. (1)已知CD＝ ，求 AC 的长； (2)求证：AB＝AC＋CD. E D A B C AD 分析：(1)由已知可知△ABC 是等腰直角三角形，可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出 BD的长，从而求出 BC 的长，即 AC 的长. (2)利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明AC＝AE，再通过证明 △BDE 为等腰直角三角形可以得到 DE＝BE，从而证出 AB＝AC＋CD . 典型例题 例3 E D A B C (1)解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴ DE＝CD＝ (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴∠B＝ (180°－90°)＝45° . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° . ∴ BE＝DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， BD＝ (勾股定理) ∴ AC＝BC＝CD＋BD＝ . 典型例题 例3 E D A B C (2)证明：在 Rt △ACD和Rt △AED中， ∵CD＝DE，AD＝AD， ∴Rt △ACD≌Rt△AED(HL). ∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等) ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 知识探究 延 ... ...
