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课件网) 第5章 立体几何初步 5.2 概率及运算 5.2.2 概率的运算 1.了解互斥事件的概率加法公式. 2.会用对立事件的概率公式进行运算. 3.利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件,提升转化与化归能力,培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力. 甲乙两人下棋，若根据已有的下棋结果可知甲获胜的概率为 ，甲乙下成和棋的概率为 ，那么乙不输棋的概率是多少呢？ 知识点:事件的概率 1.互斥事件的概率公式:如果Ω中的事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.对立事件的概率公式:如果A是样本空间Ω的事件,则P( )=1-P(A). 3.一般概率加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 名师点析 1.对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥, 并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥, 那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这n个事件的概率的和, 即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 2.若A与B互为对立事件,则有P(A)+P(B)=1; 若P(A)+P(B)=1,并不能得出A与B互为对立事件. 例1 在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算: (1)x的值; (2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率; (3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率. 分析：根据成绩在不同的区间上,则各分数段彼此互斥,因此可利用互斥事件的概率公式求解. 探究一 互斥事件的概率加法公式的应用 解： (1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90],[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件, 由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07, 由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1, ∴x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25. (2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A∪B), 则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73. (3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P( )=1-P(E)=1-0.07=0.93. 反思感悟 1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式 求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪ )=P(A1)+P(A2)+…+P( ),其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏. 2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误. 例2 (1)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 (2)某市为创建文明城市,试进行生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类,分别记为a,b,c.设置了厨余垃圾箱、可回收垃圾箱和其他垃圾箱,分别为A,B,C.为调查居民生活垃圾分类投放情况,随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500 kg生活垃圾,数据统计如下表,则估计生活垃圾投放错误的概率为( ) 类别 A B C a 200 kg 10 kg 40 kg b 15 kg 120 kg 20 kg c 15 kg 50 kg 30 kg 探究二 对立事件的概率 答案： (1)B (2)D 解析： (1)设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4. 要点笔记 求对立事件概率的关注点 当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题. 例3 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为 .求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率. 探究三 一般概率加法公式的应用 反思感悟 1.对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B,A,B,A∩B的含义进行求解. 2.若该模型不是古典概型,则需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值. 用逆向思维方法处理概率问 ... ...
