类型一 反比例函数与一次函数的综合 【典例1】 (2024·四川乐山)如图，已知点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝(x>0)的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C(0，1)． (1)求m，n的值和一次函数的表达式； (2)连接AB，求点C到线段AB的距离． [解] (1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝3，n＝3， 又∵一次函数y＝kx＋b过点A(1，3)，C(0，1)， ∴ 解得 ∴一次函数表达式为y＝2x＋1． (2)如图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E， ∵C(0，1)，B(3，1)， ∴BC∥x轴，BC＝3， ∵点A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC， ∴点D(1，1)，AD＝2，DB＝2， 在Rt△ADB中，AB＝＝2， 又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE， 即×3×2＝×2·CE， ∴CE＝，即点C到线段AB的距离为． [对点演练] 1．(2024·东昌府模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n所在直线AB与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A(a，4)和B(4，b)两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C(5，c)． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式≥mx＋n的解集； (3)求梯形AODB的面积． [解] (1)根据题意知，AO∥CD，AO＝CD， ∴四边形AODC是平行四边形， ∴点A(a，4)和点C(5，c)的横坐标相差3，纵坐标相同， 即a＝2，c＝4． ∴A(2，4)，C(5，4)． ∵反比例函数y＝的图象过A(2，4)， ∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数为y＝， 把B(4，b)代入y＝，得b＝＝2， ∴B(4，2)． 把A(2，4)，B(4，2)代入y＝mx＋n，得 解得 ∴一次函数为y＝－x＋6． (2)由函数图象可得≥－x＋6的解集为0＜x≤2或x≥4． (3)∵OD＝3，点A到OD的距离为4， ∴S AODC＝4×3＝12． ∵AC∥OD， ∴点B到AC的距离为yA－yB＝4－2＝2， ∴S△BAC＝×3×2＝3． ∴S梯形AODB＝S AODC－S△BAC＝12－3＝9． ∴梯形AODB的面积为9． 类型二 反比例函数与几何变换的综合 【典例2】 (2024·四川凉山)如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝(x>0)的图象交于点A(m，2)． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝(x>0)的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积． [解] (1)∵点A(m，2)在正比例函数y1＝x图象上， ∴2＝m，解得m＝4，∴A(4，2)， ∵点A(4，2)在反比例函数y2＝图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数解析式为y2＝． (2)把直线y1＝x向上平移3个单位长度，得到的解析式为y＝x＋3， 令x＝0，则y＝3， ∴记直线与y轴交点坐标为D(0，3)，连接AD， 联立方程组 解得或(舍去)， ∴B(2，4)， 则kAO＝kBD，即BD∥AO， ∴△AOB，△AOD同底等高， ∴S△AOB＝S△ADO＝OD·xA＝×3×4＝6． [对点演练] 2．[探究题](2024·宁夏)在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x＋1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： x … －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 … y＝ … － － － －1 －2 2 1 … 描点连线：在已画出函数y＝的图象的坐标系中画出函数y＝的图象． 【探究发现】 (1)将反比例函数y＝的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝的图象． (2)上述探究方法运用的数学思想是_____． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 (1)将反比例函数y＝－的图象先_____，再_____得到函数y＝－－1的图象． (2)函数y＝－－1图象的对称中心的坐标为_____． [解] 【动手操作】 列表： x … －6 －5 －4 －3 －2 1 2 3 4 5 … y＝ … － － － －1 －2 1 … 描点、连线画出函数图象如图所示： 【探究发现】 (1)将反比例函数y＝的图象向左平移 1个单位长度得到函数y＝的图象． 故答案为左，1． (2)上述探究方 ... ...
