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课件网) 第一章 三角形的有关证明 3 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线（2） 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 第2课时 线段的垂直 平分线（2） 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在线段AB的垂直平分线上 (到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). 逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. A B P 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 已知: 线段AB（如图）. 求作: 线段AB的垂直平分线. 作法: 用尺规作线段的垂直平分线. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点且这一点到三个顶点的距离相等； 2.能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形. 第2课时 线段的垂直 平分线（2） 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线, 你发现了什么 结论: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗 利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线. 观察这三条垂直平分线, 你发现了什么 结论: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗 如何证三条直线交于一点？ 命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 如图, 在△ABC中, 设AB,BC的垂直平分线相交于点P, 连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB . 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. A B C P 定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等. 想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直平分线的定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能把这个定理也用几何语言表示出来吗？ 试一试：你能独立完成这个过程吗？ 这是证明三条直线交于一点的根据. 如图, 在△ABC中, ∵ c,a,b分别是AB, BC, AC的垂直平分线 (已知), ∴ c,a,b相交于一点P, 且PA=PB=PC (三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等). A B C P a b c （1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗 如果能, 能作出几个 所作出的三角形都全等吗 议一议 你能探索出结果并能用尺规作出图形吗？ （2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个 例3 已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形. 已知:线段a, h(如图). a h 求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h. 请你写出作法. 作法: （1）作线段BC=a(如图). （2）作线段BC的垂直平分线m， 交BC于点D. （3）在m上截取DA=h. （4）连接AB,AC. △ABC即为所求作的等腰三角形. B C A D m 已知直线 l 和 l外一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P． 已知：直线l和l外一点P． 求作：PC⊥ l ． 作法： 1. 以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B． 2. 作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． l P A B C 议一议 1. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外． 2. ... ...
