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课件网) 第一章 三角形的有关证明 4 角平分线 第1课时 角平分线（1） 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 第1课时 角平分线（1） 逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. A B P 那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗 第1课时 角平分线（1） 1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理； 2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力. 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗 你还记得角平分线上的点有什么性质吗 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 你能证明这一结论吗 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？ 已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E. 求证: PD=PE. 分析: 要证明PD=PE,只要证明△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理AAS. 故结论可证. C B 1 A 2 P D E O 证明： ∵ OC是∠AOB的平分线， ∴ ∠1= ∠2. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO. ∵OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE. 已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E. 求证: PD=PE. C B 1 A 2 P D E O 几何语言表示： 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, 点P是OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)， ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). C B 1 A 2 P D E O 思考分析 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗 逆命题 在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 它是真命题吗 如果是，请你证明它. 已知: 如图, PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D,E. 求证: 点P在∠AOB的平分线上. 分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明∠POD=∠POE. B A C D E O P 证明：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， ∴ △POD和△POE都是直角三角形. ∵ PD=PE,OP=OP, ∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL). ∴ ∠POD= ∠POE . ∴ OC是∠AOB的平分线. ∴ 点P在∠AOB的平分线上. 已知: 如图, PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D,E. 求证: 点P在∠AOB的平分线上. B A C D E O P 逆定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 如图, ∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上 (在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. C B 1 A 2 P D E O 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长. B F E D C A 1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两边的距离相等. C● D● A B O 2. 已知: 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为点E,F. 求证: EB=FC. B A E D C F 证明: ∵ AD是△ABC的角平分线， 且DE⊥AB,DF⊥AC， ∴ ... ...
