2024-2025学年浙江省A9协作体高一下学期4月期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则在复平面内对应的点为 A. B. C. D. 2.如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为 A. B. C. D. 3.已知平面，直线，满足，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知向量与的夹角为，，，若，则实数 A. B. C. D. 5.在三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且，则三角形的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6.给出下列命题，正确的是 A. 的充要条件是且 B. 若，则它们的起点和终点均相同 C. 若存在实数，使得，则 D. 若，，，是平面内的四点，且，则，，，四点一定能构成平行四边形 7.已知复数是关于的方程的一个根，则等于 A. B. C. D. 8.已知正方体的棱长为，，，，为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体内切球的半径最大值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，正四棱台中，下列说法正确的是 A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 10.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则下列说法正确的是 A. 其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 B. 该圆锥表面积为 C. 该圆锥的体积为 D. 过该圆锥顶点的截面面积的最大值为 11.任意一个复数都可写成复数的三角形式，即，，棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则 A. B. 是方程的虚数根，则 C. ，则的范围为 D. 满足的复数有且只有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，为两个不共线的向量，，，则_____用，表示 13.在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为_____ 14.已知为等边三角形，线段的中点为，且，则的取值范围是_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设复数，． 若是实数，求； 若是纯虚数，求的共轭复数． 16.本小题分 已知向量，，． 若，所成角为钝角，求的取值范围； 若，求在上的投影向量结果用坐标表示． 17.本小题分 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． 求角； 设，求的面积． 18.本小题分 如图所示，正四棱锥，，底面边长，为侧棱上的点，且 求正四棱锥的体积； 若为的中点，证明：平面 侧棱上是否存在一点，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由 19.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，，且， 求角； 若为锐角三角形，求的取值范围 若的面积，为线段上一点，且存在，使得，求长度的取值范围 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：为实数， ， ； ， 是纯虚数， ，解得， ， 的共轭复数． 16.解：因为，所成角为钝角，所以， 因为， 由可得，解得， 当与共线时，有，即，解得， 因为当时，与夹角为，不符合钝角的条件， 所以要舍去，所以的取值范围是． 因为，又因为， 所以，解得， 则， 所以，，， 所以在上的投影向量为 17.解：已知，所以，则， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 即， 已知，且， 可得， 将，代入中，得到， 所以，因为，所以． 因为，， 所以， 由正弦定理可得， 所以． 18.解：取底面正方形的中心，连接，． 中，，，， 连，交于， ，分别为，的中点，， 又平面，平面，平面 存在，， 理由如下：取中点，连结，，． ， ，又平面，平面， 平面． ，， 又平面，平面， 平面，又， 平面平面． 又平面 平面． 19.解：因为，所以由正弦定理得：， 而是的内角，因此由得，即． 因 ... ...
