1.4 角平分线 同步练习（2课时，学生版+答案版） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

三角形的内角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到 . 说明：在△ABC中，角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PG⊥AB，就得出结论：PM＝PN＝PG. 用尺规作角的平分线 1.作法：如图. (1)以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于D，E； (2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点C； (3)作射线OC，OC即为所求. 2.作法解释： 如图，连接DC，EC可得， OD＝OE，DC＝EC， 又∵OC＝OC， ∴△DOC≌△EOC(SSS). ∴∠DOC＝∠EOC. 三角形的内角平分线 典例1图 典例1 [2023·张家口模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为点H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 变式 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，下列四个结论中正确的有( ) ①AD平分∠EDF ②AE＝AF ③AD上的点到B，C两点的距离相等 ④到直线AE，直线AF距离相等的点，到直线DE，直线DF的距离也相等 变式图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 角平分线作图的应用 典例2 以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为( ) 典例2图 A.3 B.2 C.3 D.4 变式 [2023春·惠济区期末]甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是( ) 变式图 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 1.[2024·通辽模拟]如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( ) 第1题图 A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5 2.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( ) 第2题图 A.点M B.点N C.点P D.点Q 3.到一个三角形三条边所在直线等距离的点有 个. 4.[2023秋·明水县期末]如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 . 第4题图 5.[2023秋·临洮县期中]如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为 . 第5题图三角形的内角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 说明：在△ABC中，角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PG⊥AB，就得出结论：PM＝PN＝PG. 用尺规作角的平分线 1.作法：如图. (1)以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于D，E； (2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点C； (3)作射线OC，OC即为所求. 2.作法解释： 如图，连接DC，EC可得， OD＝OE，DC＝EC， 又∵OC＝OC， ∴△DOC≌△EOC(SSS). ∴∠DOC＝∠EOC. 三角形的内角平分线 典例1图 典例1 [2023·张家口模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为点H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为( A ) A.2 B.3 C.4 D.5 连接IA，IB，IC，过点I作IM⊥AB于点M，IN⊥BC于点N，根据角平分线的性质得出IH＝IM＝IN，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据图形得出S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC，再代入求出IH即可. 解析：连接IA，IB，IC， 典例1图 过点I作IM⊥AB于点M，IN⊥BC于点N， ∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC， ∴IH＝IM＝IN， ∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°， ∴S△ABC＝AB·BC＝×8×6＝24， ∵S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC， ∴24＝AB·IM＋BC·IN＋AC·IH， ∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN， ∴24＝×8·IH＋×6·IH＋×10·IH， ∴IH＝2. ... ...