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课件网) 5.3.2 函数的极值与最大 (小)值(第一课时) 学习目标 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值。 3.过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展直观想象与数学运算素养。 教学重难点 教学重点：理解函数极小值点、极大值点和极大值、极小值。 教学难点：理解函数极小值点、极大值点和极大值、极小值概念。 复习回顾 函数单调性与导数的关系： 设函数y=f(x) 在区间(a,b) 内的导数为f'(x). 如果f'(x)>0, 则f(x)在(a,b)内为单调递增； 如果f'(x)<0,f(x) 在(a,b)内为单调递减； 如果f'(x)=0, 则f(x)在(a,b)内为常数函数； 反 之 ， 如果f(x)在(a,b)内为增函数，则f'(x)≥0 在(a,b)内恒成立； 如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f'(x)≤0 在(a,b)内恒成立. 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以 判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函 数有什么性质呢 这是江西庐山群山叠嶂的景象。 苏轼在《题西林壁》中这样写道： “横看成岭侧成峰，远近高低各不 同”,描述的就是庐山的高低起伏， 错落有致。在群山之中，各个山峰的 顶端，虽然不是群山的最高处，但它 却是其附近的最高点。 在数学上，这种现象如何来刻画呢 即当t在a的附近从小到大经过a时 ，h'(t)先正后 负，且h'(t) 连续变化，于是有h'(a)=0. (1) 对于一般的函数y=f(x), 是否也有同样的性质 观察下图，我们发现，当 t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 函 数h(t) 在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地， 导数的符号有什么变化规律 当tk
0; 当t>a时，函数h(t)单调递减， h'(t)<0. 这就是说，在t=a 附近，函数值先增后减， 由图可以看出，h'(a)=0; 在t=a的附近， 放大t=a附近的图象，如图0(2)所示. 单调性递减， 这些点附近，y=f(x) 的导数的符号有什么规律 当去x =a,c,e 时， f(x ) 比附近其他点的函数值小，f' (x )=0; x 比附近左侧的点：f' (x)<0; 0比附近右侧的点：f'(x)>0. x 叫做函数y=f(x)的极小值点； f(x ) 叫做函数y=f(x)的极小值. 极小值点a,c,e 极小值f(a),f(c),f(e) 如图观察，函数y=f(x) 在x=a、b、c、d、e等点处的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系 y=f(x) 在这些点处的导数值是多少 在 如图观察，函数y=f(x) 在x=a 、b 、c 、d 、e 等点处的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系 y=f(x) 在这些点处的导数值是多少 在 这些点附近， y=f(x) 的导数的符号有什么规律 当 去x =b,d 时 ， f(x ) 比附近其他点的函数值大， f' (x )=0; x 比附近左侧的点： f'(x)>0; 0 比附近右侧的点： f' (x)<0. x 叫做函数y=f(x)的极大值点； f(x ) 叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点b,d 极小值f(b),f(d) 极值点 x 为极大值点 x 为极小值点 极值 f(x )为极大值 f(x )为极小值 条件 f'(x )=0 x 附近左侧f'(x )>0 x 附近右侧f'(x )<0 x 附近左侧f'(x )<0 x 附近右侧f'(x )>0 x 附近f(x)f(x ) 图像 注： 极大点，小值点统称极值点；极大/小值统称极值. 极值点左右两侧的导数值异号 极值反映了函数在某点附近的大小，刻画了函数的局部性 质. 问题1:一个函数的极大值或极小值是唯一的吗 不一定 如函数y=sinx 在R上有无数个极值。 问题2:任何一个函数一定有极大值或极小值吗 不一定 如函数y=x 在R上有无极值。 问题3:一个函数的极小值一定小于极大值吗 不一定 如函 极小值2大于极大值- 2 问题4:极值点可能是区间端点吗 不可能 问题5:若f'(x )=0, 则x 一定是极值点吗 不一定 如函数y=x 在满足f'(0)=0, 但x=0不是极值点。 结论： 若 ... ... 
