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课件网) 4.3.2等比数列的前n 项和公式 (第1课时) 第四章 数列 相传古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——— 宰相西萨 ·班 ·达依尔，于是，这位国王对宰相说： 问题引入 情境 一 177 数学小故事 :说吧，想要什么赏赐 陛下，请您在这张棋盘的第1个小格内，赏给我1 粒麦子；在第二个小格内给2粒；第三格内给4粒， 照这样下去，每1小格都是前1小格的2倍. :就只这点要求吗 就算摆满棋盘应该也用不了多少小麦. 陛下啊，就这样摆满棋盘上所有64格，把所有这 些麦粒赏给我吧! :好吧，来人从仓库里运出给宰相的小麦. S64=1+2+2 +2 +…+263 一般化 等比数列的前n 项和 问题1: 故事里可以提炼出一个什么数学问题 问题引入 :你的要求太少了，我给你翻一番， 第一个小格内赏你2粒小麦， 第二个小格内赏你4粒小麦， 第三格小格内赏你8粒小麦， 依次下去，直至放满64格棋盘 情境二 探究：更一般地，首项为a , 公比为q的等比数列如何求和 Sn=a1+a2+a3+…+an Sn=a +a q+a q +…+a qn-1= 问题2:如何推导证明等比数列的前n 项和公式呢 理解公式推导的过程： 任务1:请同学们试着自主独立完成等比数列前n 项和公式的推导. 结合教材第34页至第35页“如何求一个等比数列前n 项和”相关内容. 新知探究 证明：错位相减法 Sn=a + a 1q+a q +a q + … +a qn -1 qSn=a q + a q +a q +…+a qn-1+a qn 两式作差得： Sn-qSn=a -a qn 证明等比数列求和公式 ,q≠1 新知探究 欧拉(Euler) 所以 任务2:请同学们小组合作探究：除了乘以q, 还可以乘以其它数吗 新 知 探 究 同乘 作 差 消 项 向前错位 向前错位 同乘 q :Sn=a +a1q+a1q +…+a1qn-2+a1qn-1 作 差 消 项 向后错 q Sn=a1q +a1qβ+…+a1qn-1+a1qn+a1qn+1 两位 任务2:请同学们小组合作探究：除了乘以q, 还可以乘以其它数吗 新知探究 归纳总结 等比数列求和公式 注 意：使用公式前，先判断公比q 是否为1 ,(q≠ 1) 已知a ,q,n, 则 末项 项数 公比 首 项 前 n 项 和 已 知a ,q,an, 则 特殊情况：当q=1 时 ，Sn=na . 知三求二 指数爆炸式增长的“威力”! 国王做不到 回归情境 问题3: 回归故事情境，宰相到底要多少粒麦粒 1+2+2 +2 +…+263 1000粒麦子的质量约为40g 发明者要求的麦粒的总质量超过了7000亿吨 是2023~2024年世界小麦年产量(7亿多吨)的981倍，按每年7亿吨计算 Sn=ai+ail+aZ +..+agn-I 二 a1+9(ai+a12+- 十 ai2n-2) =a1+2Sn-1(n≥2). ∵Sn-1=Sn-an . 六 Sn= ar+9CSn-an) 即(1-2)Sn=ar-2an 问题4: 你还有没有其它方法来证明等比数列的前n项和公式 提取/公因式法： 古埃及 新知探究 (L≠1) 新知探究 问题4: 你还有没有其它方法来证明等比数列的前n 项和公式 ∵a,+astayt…tun=Sn-a 由等比数列得 a,ta2+a3+ ..an1-an n-a=qsn-an (1-a)S=,-a S: == 由等比定理得 a= 欧几里德(Euclid) 问题4: 你还有没有其它方法来证明等比数列的前n项和公式 李作 Sn=a1+qSn 拉克洛瓦(Lacroix) 新知探究 例1: 我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》记载： 远 望 巍 巍 塔 七 层 ， 红 光 点 点 倍 加 增 ， 共 灯 三 百 八 十 一 ， 请 问 尖 头 几 盏 灯 翻译：已知等比数列{an}中， n=7,q=2,S =381, 求a . 解：由等比数列的前n项和公式 解得： a =3 (3)若a =8, ,求n. (2)由已知可得2' (3)由等比数列的前n项和公式，可得 变式1-1: (1)若 9 ,求Sg; 解：(1) (2)若a =27, ,q<0, 求! 练 习 巩 固 解得 解得n=5. Tn=b +b +b +…+bn-2+bn-1+bn 结合等差数列的性质 Sn=a1+a +a +…+an-2+an -1+an 结合等比数列的定义 等差数列求和 高斯用首尾相加法来“消项” 倒序相加法 等比数列求和 欧拉用错位相减法来“消项” 错位相减法 一个承诺， 国王没有做到； 一 ... ...
