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课件网) 2.6.3函数的最值 北师大版(2019)选择性必修第二册 第二章导数及其应用 的联系与区别 类比二次函数的极值与最值的关系，体会三次函数的极值与 最值的关系，并理解单峰函数的极值与最值的关系 学习目标 通过函数的图像感受极大值与最大值、极小值与最小值之间 ○ 知识回顾 极值的概念： 如图(1),在包含xo 的一个区间(a,b) 上，函数y=f(x) 在 任何不为xo 的一点处的函数值都小于xo 处的函数值，称点x 为函数 y=f(x) 的极大值点，其函数值f(xo) 为函数的极大值. 如图(2),在包含xo 的一个区间(a,b) 上，函数y=f(x) 在 任何不为xo 的一点处的函数值都大于xo 处的函数值，称点x 为函数 y=f(x) 的极小值点，其函数值f(xo) 为函数的极小值. 极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值. 知识回顾 极值的判定： 个 y y=f(x) f'(x)<0 在极大值点附近 f'(x)<0 f'(x)>0 设 xo 是 f(x) 的一个极值点，并求出 了f(x)的导数f'(xo), 则f'(x )=0. 反之不一定成立. f'(x )=0 是函数取得极值的必要不 充分条件. 例如，对于f(x)=x , 虽然f'(0)=0, 但是x= 0 不是极值点. 0 a x1 x2 b x 在极小值点附近 左正右负为极大值 左负右正为极小值 名称 定义 几何意义 最大值 一般地，对于函数y=f(x),其定义域为D,若 存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M, 且存在x ∈D,使得f(x )=M,则称M为函数 y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点 的纵坐标 最小值 一般地，对于函数y=f(x),其定义域为D,若 存在实数m,对所有的x∈D,都有f(x)≥m, 且存在x ∈D,使得f(x )=M,则称m为函数 y=f(x)的最小值 函数的最小值对应图象最低点 的纵坐标 知识回顾 最大值与最小值： (1) (2) (3) 如图可以看出，最大值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得. 函数y=f(x) 在区间[a,b] 上的最小值点 x。指的是： 函数f(x) 在这个区间上 所有点处的函数值都超过f(xo) . 函数y=f(x) 在区间[ , b]上 的最大值点 x。指的是： 函数 f(x) 在这个区间 上所有点处的函数值都不超 过f (x ) .如下图 函数的最大值和最小值统称为最值. 新知探究 函数y=f(x) 的在区间 [a,b] 的图象，你能找出它的极值、最值吗 极大值：f(x ) 、f(x ) 、f(x ) 极小值：f(x ) 、f(x ) 、f(x ) 最 大 值 ：f(a) 最小值：f(x ) ○ 新知探究 函数极值与最值有什么关系 联系：只要把函数y=f(x) 的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函 数的最大值和最小值. 区别： 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、 极小值是比较极值点附近的函数值得出的，即极值是函数的局部性质，最值是函 数的整体性质. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大 于最小值(常值函数除外). 4.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值 有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 新知探究 y=f(x) b x D y=f(x) b x ○ 新知探究 为什么给定函数的区间必须是闭区间 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值(最值可能在区间端点处取得) 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. b x y=f(x) y^ o a y d a y y=f(x) b x O a O a y 解：f'(x)=3x -4x 解方程f'(x)=0 得 x =0 和 计算函数f(x) 在导数零点x =0 和 区间端点x =-2 和 x =2 处的值： f(0)=5, ,f(-2)=-11,f(2)=5 比较这4个数的大小，可知： 函数 f(x) 在区间[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11. 例题分析 例4求函数f(x)=x -2x +5 在区间[-2,2]上的最值. 求函数f(x) 在区间[a,b]上的最大值与最小值的步 ... ...
