8.2.1 两角和与差的余弦 课件(共17张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修3

(课件网) 8.2.1 两角和与差的余弦 人教B版(2019)必修第三册 1. 掌握两角和与差的余弦公式的推导过程，熟悉两角和与差的余弦公式； 2. 会利用两角和与差的余弦公式化简、求值、证明等. 特殊角 任意角 从特殊到一般 问题1：以坐标原点为圆心作单位圆，以Ox为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于P，Q，则P，Q的坐标是什么？ 问题2：记 ，则θ与α，β有什么关系？ Q O P x y 1：P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β) 2：α-β=θ+2kπ或α-β=-θ+2kπ(k∈Z) 追问：试用数量积的基底法和坐标法两种形式表示 . Q O P x y ∵ = (cos α，sin α)， = (cos β，sin β)； ∴ · = cos α·cos β + sin α·sin β； ∵ <，> = α – β + 2kπ或<，> = β – α + 2kπ(k∈Z)， ∴ cos<，> = cos (α β)， 又∵|| = || = 1，∴· = || || cos<，> = cos (α β)， 故 cos (α β) = cos α·cos β + sin α·sin β . （Cα – β） 问题3：借助 Cα β 及诱导公式，试着推导出 Cα + β . ① 公式 C(α β)对于任意 α，β 都成立，那么当角 β 换成 β后也一定成立； ② 将 β 带入公式得：cos [α ( β)] = cosα·cos( β) + sinα·sin( β) cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ ③ 两角和的余弦公式，简记作 Cα + β： cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ （Cα + β） 两角和与差余弦公式 Cα + β：cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ Cα – β：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ 记忆方法：同名积，异号连 例1 不查表，求cos 15°及cos 105°的值. 解：cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60° 例2 化简下列各式： (1) cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 解：(1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45° ＝ . (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°) ·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°) ＝ (2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 练习：(1)cos 45°cos 15°+sin 45°sin 15°； (2)cos2 22.5°-sin2 22.5°； (3)sin 20°sin 25°-cos 20°cos 25°； (4)cos(27°+α)cos(63°-α)-sin(27°+α)sin(63°-α)； (5)cos 80°cos 20°+cos 10°cos 70°. 化成cos(90°-80°)cos(90°-20°)， 即sin 80°sin20°. 例3 已知α，β为锐角，且cos α＝ ，cos(α+β)=-，求cos β的值． 解：∵α，β∈(， ) ，∴α+β∈ (，) ，sin α= ， ∴sin(α+β)＝＝＝ ， ∵β＝α+β-α， ∴ cos β＝cos(α+β-α)＝cos(α+β)cos α＋sin(α+β)sin α ＝(－×＋ × ＝ . 变式：已知α，β∈(0，π)，且cos α＝ ，cos(α+β)=-，求cos β的值． 解：∵α，β∈(， ) ，∴α+β∈ (，2) ，sin α= ， ∴sin(α+β)＝＝＝ ， 当sin(α+β)＝时， cos β＝cos(α+β-α)＝ . 当sin(α+β)＝-时， cos β＝cos(α+β-α)＝ -. 1 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. 2 由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ①α＝ α－β ＋β； ② α＝ ＋ ③2α＝ α＋β ＋ α－β ； ④2β＝ α＋β － α－β . 方法归纳 1.sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°＝_____. 2.计算cos222.5°－sin222. ... ...