第五章 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质--人教A版高中数学必修第一册教学课件(共37张PPT)

(课件网) 5.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 第五章 三角函数 数学 学习目标 ①了解周期函数、周期、最小正周期的含义. ②掌握=sin (∈R)，=cos (∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值. ③会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间及最值. 学习重难点 重点： =sin (∈R)，=cos (∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值. 难点： 会求函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)及y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的周期、单调区间及最值. 课堂导入 问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质 观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质 单调性、奇偶性、最大(小)值等. “周而复始”现象. 三角函数图象：横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点. 诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)：自变量的值增加2π的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等. 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律. 探究一　周期性 课堂探究 函数的周期 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个_____，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且_____，那么函数f(x)就叫做周期函数. _____叫做这个函数的周期. 非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 注意：周期函数的周期不止一个. 例如，2π，4π，6π，…以及2π，4π，6π，…都是正弦函数的周期. 事实上， ∈Z且≠0，常数2π都是它的周期. 课堂探究 函数的最小正周期 如果在周期函数()的所有周期中存在一个_____，那么这个最小正数叫做()的_____. 最小的正数 最小正周期 正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(＋2kπ)＝_____，cos(＋2kπ)＝_____(k∈Z)知，＝sin 与＝cos 都是_____函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是_____. sin x cos x 周期 2π 探究一　周期性 课堂探究 例1　求下列函数的周期： (1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin(x )，x∈R. 分析 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x+T)=f(x)而求出相应的周期. 对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x+T)=cos 2x，x∈R； 对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin[(x+T)]=sin(x)， x∈R. 课堂探究 解 (1) x∈R，有3sin(x+2π)=3sin x. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π. (2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cos z的周期为2π， 即cos(z+2π)=cos z，于是cos(2x+2π)=cos 2x， 所以cos 2(x+π)=cos 2x，x∈R. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π. 例1　求下列函数的周期： (1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin(x )，x∈R. 课堂探究 (3)令z=x ，由x∈R得z∈R，且y=2sin z的周期为2π， 即2sin(z+2π)=2sin z， 于是2sin(x +2π)=2sin(x )， 所以2sin[(x+4π) ]=2sin(x ). 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π. 由以上的解答过程，探究：这些函数的周期与解析式中哪些量有关 例1　求下列函数的周期： (1)y=3sin x，x∈R； (2)y=cos 2x，x∈R； (3)y=2sin(x )，x∈R. 课堂探究 归纳新知 求三角函数周期的方法 定义法：即利用周期函数的定义求解. 公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=. 图象法：即通过观察函数图象求其周期. 探究二　奇偶性 课堂探究 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到： 正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称. 这个事实，也可由诱导公式sin(x)=sin x，cos(x)=cos x得到. 所以正弦函数是_____ ，余弦函数是_____. 思考：知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助 奇函数 偶函数 课堂探究 正弦函数、余弦 ... ...