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课件网) 2.2 基本不等式 第二章 一元二次函数、方程和不等式 数学 学习目标 ①理解基本不等式以及使用基本不等式的条件． ②结合具体实例,会用基本不等式解决简单的最值问题． 学习重难点 重点： 基本不等式的定义、证明方法和几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题． 难点： 基本不等式的几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题． 课堂导入 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 思考1：这图案中含有怎样的几何图形 思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗 情境1 课堂导入 弦图：三国时期吴国的数学家赵爽,用弦图来证明勾股定理． 证明：4个直角三角形的面积分别为, 正方形的面积为 ． , , ．(勾股定理) 情境2 由正方形面积大于4个直角三角形的面积和,得：． 课堂导入 情境2 对于, R,有,当且仅当时,等号成立． 不等式恒等变形： , R,有,当且仅当时,等号成立． , R,有,当且仅当时,等号成立． 不等式特殊变形： 如果,,用和分别代替上式中的,可得 ,当且仅当时,等号成立． 课堂探究 探究一 基本不等式 1. 算术平均数与几何平均数 对于正数,通常称叫做的算术平均数, 叫做的几何平均数． 课堂探究 探究一 基本不等式 2. 基本不等式 当时,有,(1) 当且仅当时,等号成立． 通常称不等式(1)为基本不等式． 基本不等式表明： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 课堂探究 探究二 基本不等式的条件 思考1 基本不等式中的只能是具体的数吗 提示 既可以是具体的数,也可以是代数式,只要满足就可以． 思考2 基本不等式的叙述中,“正数”二字能省略吗 提示 不能．如时,基本不等式不成立． 思考3———当且仅当时,等号成立”的含义是什么 提示 当时, 课堂探究 探究三 基本不等式的证明 证明：因为,都是正数, 所以≥0, 即,当且仅当( ,即时,等号成立． 思考4 你能证明基本不等式成立吗 比较法 课堂探究 探究三 基本不等式的证明 证明：要证, 只要证, 要证上式,只要证, 要证上式,只要证, 要证上式,只要证, 显然,成立,当且仅当a=b时,等号成立． 思考4 你能证明基本不等式成立吗 分析法 课堂探究 探究三 基本不等式的证明 证明：因为, 所以2, 所以,即, 当且仅当(,即时,等号成立． 思考4 你能证明基本不等式成立吗 综合法 课堂探究 探究四 基本不等式的变形 ①根据不等式的性质可以变形如下： 若则当且仅当时,等号成立． ②根据不等式的可乘方性可以变形如下： 若则,当且仅当时,等号成立． 课堂探究 探究五 基本不等式的几何解释 在右图中,是圆的直径,是上一点,． 过点C作垂直于的弦,连接,． 你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗 可证,因此． 由于小于或等于圆的半径, 所以用不等式表示为：． 显然,当且仅当点与圆心重合,即当时,等号成立． 基本不等式的几何意义：在同一个圆中,半径不小于半弦． A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 给出下面三个推导过程: ①为正实数,,当且仅当时,等号成立； ②R,,,当且仅当时,等号成立； ③,∈R,,,当且仅当时,等号成立． 其中正确的推导为( ) 课堂探究 【练习】 B 解析 ①,为正实数,,为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确； ②∈R,,不符合基本不等式的条件,推导是错误的； A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 给出下面三个推导过程: ①为正实数,,当且仅当时,等号成立； ②R,,,当且仅当时,等号成立； ③,∈R,,,当且仅当时,等号成立． 其中正确的推导为( ) 课堂探究 【练习】 B 解析 ③由,得,均为负数,但在推导过程中将整体提取负号后,, 均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确. A. B. C. D. (1)比较大小 【例题1】若,则下列不等式一定成立的是( ) 课堂探究 C 解析 (方法1 ... ...
