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课件网) 4.3.1 对数的概念 第四章 指数函数与对数函数 数学 学习目标 ①正确理解对数的概念． ②熟记常用对数、自然对数的特点、形式和符号． ③逐步熟悉对数式与指数式的互相转化． 学习重难点 重点： 对数的概念、指数式与对数式的互化． 难点： 由于对数符号是直接引入的,带有“规定”的性质,且这种符号比较抽象,不易为学生接受,因此,对对数符号的认识会成为教学中的难点． 课堂导入 知识链接 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier,1550~1617年)．他发明了供天文计算作参考的对数,并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》,公布了他的发明．恩格斯把对数的发明、解析几何的创始与微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 课堂导入 问题 在4.2.1的问题1中,通过指数幂运算,我们能从中求出经过年后地景区的游客人次为2001年的倍数．反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,······,那么该如何解决 解析 列出表达式：2=1.11x,3=1.11x,4=1.11x,······ 课堂导入 问题1 假设2024年我国国民经济生产总值为亿元,如果平均每年增长率为8.2%,求5年后国民经济生产总值是2024年的多少倍 解析 课堂导入 问题2 假设2024年我国国民经济生产总值为亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2024年的2倍 解析 此时问题就转化为已知底数和幂的值,求指数的问题． 课堂探究 探究一 对数的概念 对数 一般地,如果 ,那么数x叫做 ,记作 ,其中a叫做对数的底数,叫做 ． ax=(a>0,且a≠1) 以a为底的对数 x=loga 真数 例如,因为42=16,那么2就是以4为底16的对数,记作=2； 因为34=81,所以4就是以3为底81的对数,记作=4． 课堂探究 探究一 对数的概念 为什么规定,且 (1)如果 ,则会出现N为某些数值时, loga N不存在的情况,比如,假设存在,设=,则 =,无解． (2)如果 ,且, 则loga N不存在；若=0,且,则, log00有无数个值,不能确定．为此,规定． (3)如果 ,且 ,则loga N不存在；若 ,且 ,则log11有无数个值,不能确定,为了避免loga N不存在或者不唯一确定的情况,规定,且． 课堂探究 探究一 对数的概念 两种特殊对数 通常,我们把以10为底的对数叫做常用对数,并且赋予它特殊的数学符号, 即 ： log10N=lg N． 另外,在科技、经济、社会中经常使用以无理数=2.71828···为底数的对数,以为底的对数叫做自然对数,也有它特殊的符号,即： loge =ln ． 课堂探究 探究一 对数的概念 指数式和对数式的关系 指数式ab＝N与对数式loga N＝b中,a,b,N三者间的关系实质如下(a>0且a≠1)： 项目 式子 a b N 意 义 指数式 ab＝N 底数 指数 幂 a的b次幂等于N 对数式 loga N＝b 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于b 课堂探究 【例题1】 将下列指数式与对数式互化： (1)2 2=； (2)102=100； (3)ea=16； (4)6； (5)log3 9=2； (6)logx y=z(x>0,且x≠1,y>0)． 解析 (1)log2=2； (2)log10100=2,即lg 100=2； (3)loge 16=a,即ln 16=a； (4)log64 =； (5)32=9； (6)xz=y． 课堂探究 归纳新知 1.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式． 指数 对数 底数 真数 幂 课堂探究 归纳新知 2.指数式与对数式互化时应注意的问题 并非任意式子ab=N都可以直接化为对数式,如(3)2=9就不能直接写成log 3 9=2,只有当a>0,且a≠1时,才有ab=N b=loga N． 课堂探究 【跟踪训练1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式： (1)3 2=； (2)( 2=16； (3)lo 27=3； (4)lo 64=6 ... ...
