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课件网) 4.3.2 对数的运算 第四章 指数函数与对数函数 数学 学习目标 ①通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质． ②掌握对数换底公式,能够用换底公式简化问题． 学习重难点 重点： 对数的运算性质,换底公式,对数恒等式及其应用． 难点： 正确使用对数的运算性质和换底公式． 课堂导入 1. 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： 指数 对数 幂 真数 底数 (2)底数a的范围是_____． a>0,且a≠1 课堂导入 2. 指数幂的运算性质： (1) = (2) (3) 3. 对数的性质： (1)零和负数没有对数,即真数； (2)的对数为即 (3)底数的对数等于1,即． 课堂导入 问题 在引入对数之后,自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究 我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢 课堂探究 探究一 对数的运算性质 将指数式,化为对数式,log,log． 结合指数的运算性质能否将化为对数式 =log 它们之间有何关系 从而得出 ． 课堂探究 探究一 对数的运算性质 结合前面的推导,由指数式又能得到什么样的结论 由 得 ． 课堂探究 探究一 对数的运算性质 结合前面的推导,由指数式又能得到什么样的结论 由 得 课堂探究 对数的运算性质 如果,且,,,那么 (1)loglog+log； (2)loglogloga； (3)loglog()． 方法感知 (1)log84+log82= (2)log510 log52= (3)lg= (4)若ln a=0.2,则ln= lg 10=． log88=1． log55=1． ln e ln a=1 0.2=0.8． 课堂探究 思考1 在积的对数运算性质中,三项的乘积式log是否适用 你能得到一个怎样的结论 适用,loglogloglog,积的对数运算性质可以推广到真数是个正数的乘积． 课堂探究 【例题1】 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2(lg 2)2；(2)；(3)log5352log5+log57 log51.8． 解 (1)原式=(lg 5)2+(2lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1． (2)原式===． (3)原式=log5(5×7)2(log57log53)+log57log5=log55+log572log57+2log53+ log572log53+log55=2log55=2． 课堂探究 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 课堂探究 【跟踪训练1】 计算下列各式的值： (1)log5； (2)log2(32×42)． 解 (1)log5log5625=log554=． (2)log2(32×42)=log232+log242=5+4=9． 课堂探究 【例题2】 用logax,logay,logaz表示下列各式： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga． 解 (1)loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay． (2)loga(x)=logax+loga=logax+logay． (3)logaloga[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz)． 对对数式进行计算、化简时,一要注意准确应用对数的性质和运算性质,二要注意取值范围对符号的限制． 课堂探究 【跟踪训练2】 用logax,logay,logaz表示下列各式： (1)loga(x3y5)；(2)loga． 解 (1)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay． (2)loga=logaloga(yz)=loga-(logay+logaz)=logax-logay-logaz． 课堂探究 探究二 换底公式 思考2： 假设=x,则log25=xlog23,即log25=log23x,可得3x=5,由指数和对数的关系可得x=log35,因此=log35．如果将底数换成c(c>0,且c≠1)等式还成立吗 提示 成立,推导如下： 假设=x,则logc5=xlogc3,即logc5=logc3x, 可得3x=5,由指数和对数的关系可得x=log35,因此=log35． 课堂探究 探究二 换底公式 思考3： 这个等式能否推广到任意底数的对数式 会得到什么样的式子 你能写出它的推导 ... ...
