10.2.1 复数的加法与减法 课件（28页PPT）

10.2.1 复数的加法与减法 1.掌握复数的代数形式的加法和减法法则. 2.了解复数加、减运算的几何意义. 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) （数） （形） 一一对应 复数z=a+bi （数） 一一对应 （形） 1.复数的几何意义 2.平面向量加减法的运算法则 (1)几何形式：平行四边形法则、三角形法则 (2)坐标形式：坐标分别相加减 （一）复数的加法法则 既然虚数单位i能与实数进行加法和乘法运算，并仍保持实数加法和乘法的运算律，那么你认为复两个复数应该怎样相加才合理呢？ 设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么 类比猜想： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 思考1 复数的加法法则： 一般地，设z1 =a+bi , z2 =c+di (a,b,c,d?R), 称z1 +z2为z1 与z2 的和， z1 +z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d) i 实部相加得实部 虚部相加得虚部 1.两个复数的和仍然是一个确定的复数 2.复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情况 3.当 ????=????=0 时，复数的加法法则与实数的加法法则一致. ? 注 意 1. (1+2i)+(-2+3i)=_____; 填一填： 2. (-2+3i)+(1+2i)=_____; 3. [(-2+3i)+(1+2i)]+(3+4i) =_____+(3+4i) =_____; 4. (-2+3i)+[(1+2i)+(3+4i)] = (-2+3i)+_____ =_____. -1+5i -1+5i (4+6i) 2+9i 2+9i (-1+5i) 证明：设z1 =a1+b1i , z2 =a2+b2i z=a3 +b3i, z1 +z2 =(a1 +a2 )+(b1 +b2) i z2 +z1 =( a2+a1 )+( b2+b1 ) i z1 +z2 = z2+z1 同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3) 复数的加法满足交换律和结合律吗？试证明. 思考2 （二）复数的加法的几何意义 如何正确理解复数加法的几何意义？ 提示：复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则. 思考3 Z1(a,b) Z2(c,d) O y x (a,b)+(c,d) =(a+c,b+d) 其对应复数z=(a+c)+(b+d)i 设z1=a+bi，z2=c+di，则 ∴复数的加法可以按向量的加法来进行. Z(a+c,b+d) 复数加法的几何意义的具体解释： ? ? 由复数加法的几何意义还可以得出 ||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|. 等号成立的条件： ①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线； ②当|z1+z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量反向共线. （三）复数的减法 实数的减法是加法的逆运算，减去一个数，等于加上这个数的相反数. 相反数：一般地，复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z，并规定：-z=-（a+bi）=-a-bi. 在实数集中，减法的几何意义是什么？ 思考4 在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？ 思考5 一般地，设z1 =a+bi , z2 =c+di (a,b,c,d?R), 称z1 +z2为z1 与z2 的和， z1 -z2 =(a+bi)-(c+di)=(a-b)+(c-d) i 实部相减得实部 虚部相减得虚部 复数的减法法则： 算一算: (1)(-1+3i) -(1 -3 i) (2)(5 - 6i)+(-2 - i)-(3 + 4i) 解 ： (1)原式= (-1-1）+[3 -(-3）]i =-2+6 i 原式= 或 （5–2-3）+（-6 –1-4）i = -11i (2)原式= （5–2）+（-6 –1）i -(3 + 4i) = -11i =（3-7i） -(3 + 4i) =（3–3）-（-7 –4）i （四）复数的减法的几何意义 类比复数加法的几何意义，如何正确理解复数减法的几何意义？ y x O 设z1=a+bi，z2=c+di，则 (a,b)-(c,d) =(a-c,b-d) 其对应复数z=(a-c)+(b-d)i 复数减法的几何意义： 思考5 复数减法的几何意义的具体解释： 由复数减法的几何意义可以得出 ||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|. 等号成立的条件： ①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线； ②当|z1-z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量同向共线. 因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以进行有限个复数的加减运算.也可以进行加、减法的混合运算. 例1 计算 解： 例2 复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足Z1+i=Z2 －2，求Z1和Z2. 解：依题意设Z1=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， 由Z1+i=Z2 －2 ... ...