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课件网) 1.3.2 课时2 等比数列的前n项和的性质及应用 1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用. 2.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题. 等比数列的前n项和公式 q=1 q≠1且q≠0 尝试:用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n. 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n ＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 讨论1：类比等差数列中的性质，在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)有啥关系吗？ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn， 故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 讨论2：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 若等比数列{an}的项数有2n项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系， 若等比数列{an}的项数有2n＋1项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋… ＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项， 于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶， 即S奇＝a1＋qS偶. 归纳总结 等比数列前n项和公式的性质 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 2.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q. 3.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1). 限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时, Sm，S2m-Sm，S3m-S2m都等于0，不是等比数列. 例1 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，求S4n的值. 例2 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式. 例3《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( ) A.96 B.126 C.192 D.252 C 解析：由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6==378， 解得a1=192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 故选C. 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于( ) A.－9 B.－21 C.－25 D.－63 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 3.若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为_____. B 2 9 A 5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为 . 3 ... ...
