2.2.2 导数的几何意义 第二章 导数及其应用 1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 平均变化率的几何意义 【问题1】设函数y＝f (x)的图象如图，点 ，点 ， 则 在 上的平均变化率为 结合直线斜率的定义可知：函数在点P0到点P之间的平均变化率即为割线P0P的斜率. 它表示什么？ 【问题2】导数????’(????0)=?????????????????→0??????????=?????????????????→0????(????0+?????)?????(????0)?????表示什么？ ? x y x0 x0+?x f(x0) f(x0+?x) y=f(x) O P ? P0 T ? f(x0+?x)-f(x0) 观察右图，当点 P 沿着曲线y＝f (x)趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？ 我们发现，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T 切线的定义： P0 P 在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x)) 此切线定义与初中学过的圆的切线定义有何不同 ？ 导数f ′(x0)的几何意义： 割线P0P 的斜率k 切线P0T 的斜率k0 点P → 点P0 函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0) 曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0 导数f ′(x0)的几何意义 P0 T P0 T P0 T 通过观察，可以发现点 P0 处的切线 P0T 比任何一条割线都更贴近点 P0 附近的曲线. 如图，将点 P0 附近的曲线不断放大，可以发现点 P0 附近的曲线越来接近于直线. 因此，在点 P0 附近，曲线 y = f (x) 可以用点 P0 处的切线 P0T 近似代替. P x y O T 即 思考：你能求出曲线y=f (x)在点M(x0, f (x0))处的切线方程是什么吗？ 【例1】已知函数y=x2及自变量x0=-2. （1）分别对△x=l，0.5，0.1求y=x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线； （2）求函数y=x2在x0处的导数，并画岀曲线y=x2在点(x0，f(x0))处的切线. 解：当△x=l，0.5，0.1时，区间[x0，x0+△x]相应为[-2，-1]，[-2，-1.5]，[-2，-1.9]，y=x2在这些区间的平均变化率分别为 令△x趋于0，可知函数y=x2在x0=-2处的导数为-4. 如图，其相应割线分别是经过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l1，经过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l2，经过点（-2，4）和点（-1.9，3.61）的直线l3. （2）函数y=x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为 因此，曲线y=x2在点（-2，4）处的切线为经过点（-2，4），斜率为-4的直线l，如图. 【例2】已知函数????(????)=1????，求曲线y=????(????)在(2,????2)处的切线方程. ? 解：因为????′2 =lim?????→0????2+??????????(2)????? =lim?????→012+??????12?????=lim?????→0?12(2+?????）=?14， 又因为????(2)=12， 所以切线的方程为 y?12=?14(?????2)， 即????+4?????4=0. ? 切点坐标(2, 12) ? 斜率为?14 ? 归纳总结 求曲线在某点处的切线方程的步骤 根据今天所学，回答下列问题： 1.导数的几何意义是什么？ 2.如何求函数在某点处的切线的方程？ 1.如图，直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线， 则f ′(x0)=( ) A.0.5 B.3 C.4 D.5 2.曲线y=-2x2 +1在点P(1，-1)处的切线方程为 . A 4x+y-3=0 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A.0
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