2.5 简单复合函数的求导法则 课件（共16张PPT） 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

2.5 简单复合函数的求导法则 第二章 导数及其应用 理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则； 能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数. 情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 复合函数 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 复合函数可分为内外两层： f (u)为外层函数 g(x)为内层函数. 概念生成 问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)????=(3+sin????)4； (2)????=ln12????+1； (3)????=22?????1； (4)????=11?cos????. ? (????=????4，????=3+sin????) ? (????=ln????，????=12????+1) ? (????=2????，????=2?????1) ? (????=1????，????=1?cos????) ? 问题2：已知?????=sin2????，????????=sin????，????????=2????. (2)分别求出?′????，????′????，????′????，并总结它们之间的关系. ? (2)因为?????=sin2????=2sin????cos????， 所以?′(????)=(2sin????cos????)′ =2(sin????)′cos????+2sin?????(cos????)′ =2????????????2?????2????????????2???? =2????????????2????. 又因为????′????=cos????，????′????=2，所以 ?′????=????′????(????)????′????. ? 一般地，如果函数????=????????与????=????????的复合函数为 ????=?????=????????(????)， 则可以证明，复合函数的导数?′????与????′????，????′????之间的关系为 这一结论也可以表示为 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. ? 复合函数求导法则 ?′????=????????????′=????′????????′(????)=????′(????????)????′????. ? ????′????=????′????????′????. ? 概念生成 解：(1)函数h(x)=????5?????1可以看作函数????????=????????和????=????????=5?????1?的复合函数，根据复合函数求导法则，因此 ?′????=????′(????)????′(????)=????????′(5?????1)′ =???????? ×5=5????5?????1. (2)函数????=ln2????+1可以看成是由?????=ln????和????=????????=2????+1的复合函数，因此?′????=????′(????)????′(????)=ln????′(2????+1)′ =1???? ×2=22????+1. ? 【例1】求下列函数的导数 (1)h(x)=????5?????1;? (2)f(x)=ln2?????1; (3)????=2?????1; (4) ????=sin2x+????3. ? (3)????=2?????1; (4) ????=sin2x+????3. ? (3)函数y=2?????1可以看成是由????=????和????=2?????1的复合函数，因此 ????????′=????????′ ?????????′=(????)′ ?(2?????1)′=12????×2=2?????12?????1. (4)函数????=sin2????+????3可以看成是由????=????????????????和????=2????+????3的复合函数，因此 ????????′=????????′ ?????????′=(????????????????)′ ?(2????+????3)′=cosu×2=2cos?(2????+????3). ? 方法归纳 求复合函数导数的步骤 【例2】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝ ，则在t＝40 min时的降雨强度为( ) A.20 mm B.400 mm D 【例3】若曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求a的值. 解：令y=f(x)，则曲线y=eax在点(0，1)处的切线的斜率为f'(0)， 又因为切线与直线x+2y+1=0垂直，所以f'(0)=2. 因为f(x)=eax，所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax， 所以f'(0)=ae0=a， 故a=2. 结合以下关键词谈谈你的收获： 1.复合函数； 2.复合函数的导数法则； 3.复合函数求导法则的综合应用. 1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( 　) A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2 C.y＝tn，t＝ ... ...