第二章 导数及其应用 2.6.2 函数的极值 北师大版(2019)选择性必修二 1.理解函数的极大值和极小值的概念. 2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值. 情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点. 观察图中函数????=????(????)的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述. ? 从图中可以看出，函数????=????(????)在????1，????3，????5这三点对应的函数值，都是其附近的函数值中的最大者；而在????2，????4这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者. ? 一、极值点与极值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1) f (x)f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极小值点，且f (x)在x0处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值. 显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质，并且一个函数可以有若干个极大值与极小值. 如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值没有必然的大小关系. 探究1.从图所示的函数????=????(????)图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标????1，????2，????3，????4?都是函数的极值点，已知曲线????=????(????)在A，B，C，D之处都存在切线.? （1）A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明????(????)在????1，????2，????3，????4处的导数具有什么特点？ （2）曲线????=????(????)在A，B，C，D附近的点处 的切线具有什么特征？ ? 可以看出，曲线????=????(????)在A，B，C，D处的切线都是水平的，这等价于 ????′????1=????′????2=????′????3=????′????4=0. 在A点与C点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于0；在右侧的附近曲线的切线斜率都小于0. 在B点与D点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样. 一般地，如果????0是????=????(????)的极值点，且????(????)在????0处可导，则必有 ????′????0=0. ? 二、函数的导数与极值 (1)极小值点与极小值 若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝_____，而且在点x＝a附近的左侧_____，右侧_____，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝_____，而且在点x＝b附近的左侧_____，右侧_____，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，_____叫做函数y＝f (x)的极大值． 0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 f (a) 0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 f (b) 例1 求下列函数的极值. 解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2. 令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞) f'(x) - 0 - 0 + 0 + f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时，f(x)有极小值且f(x)极小值=0，没有极大值. 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表: 求可导函数f(x)的极值的步骤: ①求导数f'(x). ②求方程f'(x)=0的根. ③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 方法归纳 例2 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其 ... ...
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