2.6.3 函数的最值 课件（共17张PPT） 2024-2025学年高二数学北师版（2019）选择性必修2

— 第二章 导数及其应用 — 2.6.3 函数的最值 1.理解极值与最值的区别和联系； 2.掌握求函数最值的方法． 如图为定义在[a，b]上的函数f(x)的图象，函数f(x)在[a，b]上的极值在什么位置取到？ 极小值点是x1，x3，极大值点是x2 能否找出该区间的最值？ 最大值是f(b)，最小值是f(x3) 一般地，设函数????=????????的定义域为I， 如果存在????0∈???? ，对于任意的????∈????，都有????(????)≤????(????0) ，那么，称????(????0)是函数????=????????的最大值. 如果存在????0∈???? ，对于任意的????∈????，都有????(????)≥????(????0) ，那么，称????(????0)是函数????=????????的最小值. ? 知识讲解 y x O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 分别观察下列函数图象，分析函数 ????=????????在开区间(????,????)上的最值情况. ? o x y a b y=f(x) o x y a b y=f(x) o x y a b y=f(x) 有最大值 无最小值 有最小值 无最大值 无最大值 无最小值 一般地，如果函数 ????=????????在闭区间[????，????]上的图象是一条连续不断的曲线，那么它在[????，????]上必有最大值与最小值. ? o x y a b y=f(x) 归纳总结 观察函数????=????????，????∈[?3，2]的图像，回忆函数最值的定义，回答下列问题： 思考1:图中所示函数的最值点与最值分别是多少？ ? x y y = f (x) ?3 ? 2 ? O 最大值点为2，最大值为3； 最小值点为0，最小值为-3. 最大值 最小值 思考2:图中所示函数的极值点与极值分别是多少？ 极大值点为-2，极大值为2； 极小值点为0，极小值为-3. 讨论:一般的函数的最值与函数的极值有什么关系？怎样求可导函数的最值. y x O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 ① 一般地，如果函数????=????(????)的定义域内为(????,????)且存在最值，函数????=????(????)在(????,????)内可导，则函数的最值点一定是某个极值点； ②如果函数????=????(????)的定义域为[????,????]且存在最值，函数????=????(????)在(????,????)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点????或????，要么是极值点. ? 利用导数求出区间内的极值，并与区间端点处函数值比较，即可确定. 判断:1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( ) 3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( ) 4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.( ) √ × × √ 也可能在极值点处取到. 有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值. 例1 已知函数f(x)＝1?????????＋ln x，求f(x)在[12，2]的最值. ? 例1 已知函数f(x)＝1?????????＋ln x，求f(x)在[12，2]的最值. ? 例2 已知????(????)=3????3?9????，????∈?2，3，求????(????)在定义域的最值. ? 解：因为f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 所以令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1. 则当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表： {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} ???? －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，3) 3 ?????′(????) ? ＋ 0 － 0 ＋ ? ?????(????) －6 ↗ 6 ↘ －6 ↗ 54 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，3) 3 ? ＋ 0 － 0 ＋ ? －6 ↗ 6 ↘ －6 ↗ 54 由表可知极值f(-1)=6，f(1)=-6，区间端点函数值f(-2)=-6，f(3)= 54(x= 3不可取)， 经比较最小值为-6，无最大值. 例3 已知2xln x≥-x2+ax-3对一切x∈(0，+∞)恒成立，求a的取值范围. 解：由2xln x≥-x2+ax-3(x>0)得a≤2ln x+x+3????(x>0). 设h(x)=2ln x+3????+x(x>0)，则h'(x)=(????+3)(?????1)????2， 当x∈(0，1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增. ∴h(x)min=h(1)=4. ∴a≤h(x)min ... ...