5.1.1 复数的概念 课件（共13张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第二册

(课件网) 5.1.1 复数的概念 第五章 复数 对于实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0， 当 Δ = b2 - 4ac < 0 时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 从方程的角度看，负实数能不能开平方， 就是方程 x2 + a = 0 ( a > 0 ) 有没有解， 进而可以归结为方程 x2 + 1 = 0 有没有解. N Z Q R 数系是一个不断扩充的过程 引入新数 i，使得 x = i 是方程 x2 + 1 = 0 的根，即使得 i2 = -1. i 和实数之间能够进行加法和乘法运算， 而且加法和乘法都满足交换律、结合律， 以及乘法对加法的分配律. 思考：得到的新数是什么样的形式呢？ ① 定义：形如 a + bi (a，b∈R) 的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部； 全体复数构成的集合 C = {a + bi | a，b∈R} 叫做复数集； ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z = a + bi (a，b∈R). 在复数集 C = { a + bi | a，b∈R } 中，任取两个数 a + bi，c + di (a，b，c，d ∈R)； 规定：a + bi 与 c + di 相等的充要条件是 a = c 且 b = d. 问题：如何定义两个复数相等？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 例1：给出下列几个命题，其中真命题的个数为（ ） ① 若 z∈C，则 z2 ≥ 0；② 2i - 1虚部是 2i；③ 2i 的实部是0； ④ 若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤ 实数集的补集是虚数集. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：令 z = i∈C，则 i2 = - 1 < 0，故 ① 不正确； ② 中 2i - 1 的虚部应是 2，故 ② 不正确； ④ 当 a = 0 时，ai = 0为实数，故 ④ 不正确； ∴ 只有 ③，⑤ 正确. 例2：已知复数 z = a2 - (2 - b)i 的实部和虚部分别是2和3，则实数 a，b 的值分别是_____. 解：由题意知 ，∴ a = ±，b = 5. 解：（1）复数 z 是虚数的充要条件是 ∴ 当 m ≠ - 3 且 m ≠ - 2 时，复数 z 是虚数； 例3：求当实数 m 为何值时，z = + (m2 + 5m + 6)i 分别是： （1）虚数； （2）纯虚数. 解得m = 3；∴当 m = 3 时，复数 z 是纯虚数. （2）复数 z 是纯虚数的充要条件是 例4：已知 x0 是关于 x 的方程 x2 - (2i - 1)x + 3m - i = 0 (m∈R) 的实根，则 m 的值是_____. 解：由题意，得 x02 - (2i - 1)x0 + 3m - i = 0，即(x02 + x0 + 3m) + ( - 2x0 - 1)i = 0， 1.若 xi - i2 = y + 2i，x，y ∈ R，则复数 x + yi 等于（ ） A. -2 + i B.2 + i C.1 - 2i D.1 + 2i 解：由 i2 = - 1，得 xi - i2 = 1 + xi，则由题意得1 + xi = y + 2i， 根据复数相等的充要条件得 x = 2，y = 1，故 x + yi = 2 + i. 2.若复数 z = m2 - 1 + (m2 - m - 2)i 为实数，则实数 m 的值为（ ） A. -1 B.2 C.1 D. - 1或2 解：由已知可得，m2 - m - 2 = 0，解得 m = - 1 或 m = 2. 3. 若关于 x 的方程 3x2 - x - 1 = (10 - x - 2x2) i 有实根，求实数 a 的值. 解：设方程的实根为 x = m，则原方程可变为 3m2 - m - 1 = (10 - m - 2m2)i， 所以 ，解得m = 2或m = ，则a = 11或 - . 01 概念 02 分类 03 相等 ... ...