6.6.2 柱、锥、台的体积 课件(共17张PPT) 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第二册

(课件网) 第6章 立体几何初步 6.6.2 柱、锥、台的体积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h， 则V=Sh. 棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h， 则V=Sh. 棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′、S， 高为h，则V=(S+S′+) h. 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh S为圆柱的 ，h为圆柱的高 圆锥 S为圆锥的 ，h为圆锥的高 圆台 S′，S分别为圆台的 ，h为圆台的____ 底面积 底面积 上、下底面面积 高 上底缩小 思考: 圆柱、圆锥和圆台的体积公式之间有什么关系？ S为底面面积， h为圆锥的高. 分别为上、下底面 面积，h 为圆台的高. S为底面面积， h为圆柱的高. 上底扩大 =0 题型一：圆柱、圆锥、圆台的体积 例1　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是 解:作圆锥的轴截面，如图所示： 由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r， 则h=r，PB=r，S侧=πr·PB=πr2=16π， 所以r=4，高h=4. 所以圆锥的体积V=π×42×4=π. (2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台 的体积是_____. 解:设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π. ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π. ∴l=2，h= 则V=π(12+22+1×2)×=π. 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′， 求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解:方法一：设AB=a，AD=b，DD′=c， 则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc， 又S△A′DD′=bc且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a. 所以V三棱锥C-A′DD′ = S△A′D′D·CD = abc. 则剩余部分的几何体体积V剩= abc - abc = abc. 故V棱锥C-A′DD′∶V剩= abc∶abc=1∶5. 方法二：设底面ADD′A′面积为S，高为h， 则长方体的体积为V=Sh. 而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h， 因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh. 剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh. 所以棱锥C-A′DD′的体积 与剩余部分的体积之比为1∶5. 题型三：等积法求体积 例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积. 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， ∵ S△A1D1E ＝EA1·A1D1＝a2， 解: 由V三棱锥A1-D1EF ＝ V三棱锥F-A1D1E， ∴ V三棱锥A1-D1EF ＝ a3. 题型四：等体积法求点到面的距离 例4 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d. 解：在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD， AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=a， 因为= 所以 所以d=a.所以点A到平面A1BD的距离为a. 题型五：分割法求几何体的体积 例5 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. ∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB ∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20. 解: 如图，连接EB，EC，AC. V四棱锥E－ABCD＝ ×42×3＝16. ＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC ＝ ×V四棱锥E－ABCD＝4. 题型六：补体法求几何体的体积 例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 A.5π B.6π C.20π D.10π 解: 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱， 如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 1.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2， 动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积 A.与点E，F的位置有关 B. ... ...