湖南省娄底市2025年普通高中学业水平合格性考试（三） 数学试题 一、单选题：本题共18小题，每小题5分，共90分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则( ) A. B. C. D. 2.在正六边形中，设，则下列向量中与不共线的是( ) A. B. C. D. 3.已知函数的最小正周期为，则为( ) A. B. C. D. 4.半径为，圆心角为弧度的扇形的面积是( ) A. B. C. D. 5.( ) A. B. C. D. 6.不等式的解集为( ) A. 或 B. C. 或 D. 7.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点( ) A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 8.函数的定义域是( ) A. 且 B. C. D. 且 9.下列函数在其定义域内单调递减的是( ) A. B. C. D. 10.数据的方差是，则数据的方差是( ) A. B. C. D. 11.若与互为相反数，则 ． A. B. C. D. 12.若直线是与平面相交的一条斜线，则在平面内与垂直的直线( ) A. 有且只有一条 B. 有无数条 C. 有且只有两条 D. 不存在 13.树人中学七年级有人八年级有人九年级人，为了解该校“双减”政策落实情况按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本则八年级应抽取的人数为( ) A. B. C. D. 14.已知，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 15.在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是( ) A. 直线与异面 B. 直线与相交 C. 直线与异面 D. 直线与相交 16.在如图所示的并联电路中，元件正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且，元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为( ) A. B. C. D. 17.已知，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且分钟恰好转动圈，则盛水筒距离水面的高度单位：米与时间单位：秒之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 19.已知复数为纯虚数，则 ． 20.函数的图象恒过定点 ． 21.在中，内角，，的对边分别为，则 22.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分组，分别为估计该样本数据的第百分位数是 ． 三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 23.本小题分 在一个盒子中有除颜色外完全相同的个球，蓝球，红球，绿球各个，从中随机地取出个球，观察其颜色后放回，然后随机取出个球． 请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； 求“第一次取出的是红球”的概率； 求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 24.本小题分 如图，在正四棱锥中，是正方形的中心，是的中点，直线与平面所成的角为． 求证：平面； 求四棱锥的体积． 25.本小题分 已知函数． 求的值； 用定义法证明：函数在上是减函数； 若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.解：样本空间蓝球，蓝球，蓝球，红球，蓝球，绿球，红球，蓝球，红球，红球，红球，绿球绿球，蓝球绿球，红球绿球，绿球． 设“第一次取出的是红球”为事件． 事件包含的样本点有红球，蓝球，红球，红球，红球，绿球，共个， 由知基本事件总数， 所以． 设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件． 事件包含的样本点有红球，蓝球，红球，绿球，共个， 由知基本事 ... ...
