2.6.2 函数的极值 第二章 导数及其应用 1. 了解极值的概念. 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 3. 会用导数求函数的极值． 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ ? 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 问题1 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? x y O a b x y O a b 放大t=a附近的图象, 如图所示. 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t
0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 追问1 如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. 以x=a, b两点为例 追问2 y=f (x)在这些点处的导数值是多少？ f ′(a)=0 f ′(b)=0 追问3 在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 极值点与极值 一般地，设函数????=????(????)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)????(????)????(????0)，则称x0为函数????(????)的一个极小值点，且????(????)在x0处取极小值，例如b和????(????). ? 概念讲解 追问1 f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？ x0是函数 f(x) 的极值点 f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0左右两侧导数异号 f ′(x0)=0 结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件. 追问2 函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？ x0左右侧导数异号 f ′(x0)=0 x0为极值点 问题3 函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值． 极小值 极大值 (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. 归纳总结 【例1】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，f′(－1)＝f′(1)＝0，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？ 解:(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f′(－1)＝f′(1)＝0， 得3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， (2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？ 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减. ∴x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点. 【例2】求函数f(x)=x2e-x的极值点和极值. 解：函数f(x)的定义域为R. f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x. 令f'(x)=0，得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x (-∞，0 ... ... 
