2.6.3 函数的最值 课件（19张PPT）

第二章 导数及其应用 2.6.3 函数的最值 北师大版(2019)选择性必修二 1. 理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系； 2. 会求某闭区间上函数的最值. 探究.观察图所示函数????=????????， ????∈[?3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题： （1）图中所示函数的最值点与最值分别是多少？ （2）图中所示函数的极值点与极值分别是多少？ ? （1）如图所示的最大值点为2，最大值为3；最小值点为0，最小值为-3. （2）函数的极大值点为-2，极大值为2；极小值点为0，极小值为-3. 函数的最值 (1)一般地，如果函数y＝f (x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点； (2)如果函数y＝f (x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f (x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． 问题：函数的极值与最值的区别是什么？ 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个； 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得； 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值； 极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 注意：1.给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，尽管函数图象是连续的，那么它也不一定有最大值和最小值. 例如函数f(x)=1????在区间(0，2)上的图象是连续不断的曲线，但在该区间上，函数f(x)既没有最大值，也没有最小值. ? 2.所给函数的图象必须是连续曲线，否则不一定有最值. 例如函数f(x)=|????|，?1≤????≤1，????≠02，????=0 在[-1，1]上只有最大值，而没有最小值. ? 3.函数的最值是一个整体性概念，最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个，也可能没有. 4.极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能是最值，最值只要不在端点处则一定是极值. 例1 (1)求函数f(x)=x3-12x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值； (2)求函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值. ? 解：(1)f'(x)=3x2-x-2，令f'(x)=0，得x1=-23，x2=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: ? x -2 1 (1，2) 2 f'(x) ? + 0 - 0 + ? f(x) -1 ↗ ↘ ↗ 7 通过比较，f(x)max=f(2)=7，f(x)min=f(-2)=-1. (2)求函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值. ? (2)f'(x)=12+cos x，令f'(x)=0，得x1=2π3，x2=4π3. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: ? x 0 2π f'(x) ? + 0 - 0 + ? f(x) 0 ↗ ↘ ↗ π 通过比较，f(x)max=f(2π)=π，f(x)min=f(0)=0. 方法归纳 求函数 y = f (x) 在区间 [a，b] 上的最值的步骤： 例2 已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 解：h(x)=x3+3x2-9x+1，h'(x)=3x2+6x-9. 令h'(x)=0，解得x1=-3，x2=1， 当x变化时，h'(x)及h(x)的变化情况如下表: x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) h'(x) + 0 - 0 + h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗ 当x=-3时，h(x)取极大值28；当x=1时，h(x)取极小值-4. 而h(2)=3