4.2提公因式法 课件(共26张PPT) 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

(课件网) 4.2提公因式法 北师大版 (2012) 八年级下册 第四章 因式分解 学习目标 理解提公因式法的意义，能确定多项式的公因式 会用提公因式法把多项式因式分解(多项式中的字母指数仅限于正整数)，理解添括号的方法，强化运算能力 1 2 知识回顾 问题一：因式分解的概念是什么？ 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 问题二：整式乘法与因式分解之间的关系是怎样的？ 因式分解 整式乘法 互为逆运算 知识探究 a c b 如下图，两个长和宽分别是 a 和 c，b 和 c 的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？ 方法一：b a＋c 方法二： ab＋cb ab＋cb＝ b a＋c 观察这个等式的左边，你发现了什么？ 因式分解 知识探究 ab＋cb＝ b a＋c 相同的因式 b 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 例如：3x3＋x和mb2＋nb－b的公因式分别是多少呢？ x b 知识探究 (1)多项式 2x2＋6x3 中各项的公因式是什么？ 2 x2 ＋ 6 x3 2x2 系数 最大公约数 2 字母 相同的字母 x 指数 相同字母的最低次幂 2 定系数：多项式各项系数的最大公因数； 定字母：多项式各项中都含有的相同字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 找公因式 议一议 知识探究 议一议 (1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ 2x2 (2)你能尝试将多项式 2x2＋6x3 因式分解？与同伴进行交流. 2x2＋6x3 把公因式“2x2”提出来试试！ ＝2x2·1＋2x2·3x ＝2x2(1＋3x) 提公因式法 知识探究 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫做提公因式法. 提公因式法 2x2＋6x3＝2x2(1＋3x) 因式分解 单项式乘多项式 提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算. 典型例题 例1 把下列各式因式分解： (1)3x＋x3； (2) 7x3－21x2； (3)8a3b2－12ab3c＋ab； (4) －24x3＋12x2－28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来． (3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 ＝ab(8a2b－12b2c＋1) ； (4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x) ＝ －(4x·6x3－4x·3x2＋4x·7x) ＝－4x(6x3－3x2＋7x). 解：(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2)； (2) 7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3)； 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数称为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号. 知识探究 提公因式法因式分解的一般步骤 确定公因式———先定系数的最大公因数，再定字母和字母的指数； 提公因式； 确定另一个因式———用多项式的每一项除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式； 写成乘积的形式. 典型例题 例2 把下列各式因式分解： (1) a(x－3)＋2b(x－3)；(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2. 分析：把“x–3”“x+1”都看做一个整体进行因式分解. 解：(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)·a＋(x－3)·2b＝(x－3)(a＋2b)； (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)·1＋y(x＋1)·y(x＋1) ＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)] ＝y(x＋1)(yx＋y＋1). 典型例题 例3 把下列各式因式分解： (1)a(x－y)＋b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2. 解：(1)a(x－y)＋b(y－x) ＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b). (2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12(m－n)2 ＝6(m－n)2(m－n－2). “x－y”与“y－x”互为相反数 “m－n”与“n－m”互为相反数 注意：当多项式中的某项和公因式相同或互为相反数时，提取公因式后，该项保留的因式是 1 或 －1，而不是 0. 知识探究 做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”， ... ...