2024-2025学年湖南省三新/H11/G10教育联盟高二下学期4月期中联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.有可以表示为 A. B. C. D. 3.若，则 A. B. C. D. 4.已知数列满足，且，则数列的通项公式为 A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为 A. B. C. D. 7.为研究不同性别学生对“”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“了解”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中了解的学生的人数为，则当取得最大值时的值为 A. B. C. D. 8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关．现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有个红球的概率为则的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是( ) A. 正方体的表面积和体积是相关关系 B. 已知函数，则 C. 若，且，则 D. 已知随机变量，，若，则函数为偶函数 10.已知点，为圆：上两动点，且，点为直线：上动点，则( ) A. 圆心到直线的距离为 B. 以为直径的圆与直线相离 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11.已知函数 ，为常数，若函数有两个零点，，且，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.下列个数据，，，，的第百分位数为_____． 13.直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率_____． 14.已知正三棱柱中，，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列 求数列的通项公式． 记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，． 棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值； 点在线段运动包括端点，当二面角夹角最小时，试确定点的位置． 17.本小题分 已知椭圆：过点，离心率为． 求椭圆的标准方程． 若椭圆上存在一点点在第一象限，点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若四边形为菱形，求满足条件的点坐标． 18.本小题分 设函数，． 试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由； 若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律．统计人员发现某鸟类在区域经常出没，在区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为Ⅰ种和Ⅱ种．统计人员在区域随机捕获了只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果．记第次试验中Ⅰ种的数目为随机变量设该区域中Ⅰ种的数目为，Ⅱ种的数目为． 求在第次试验中随机变量的分布列． (ⅱ)假设每一次试验均相互独立．统计人 ... ...
