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课件网) 第四章 数列 章末整合提升 知识体系构建 核心知识归纳 1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用． (3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题． (4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系． 2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有： (1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式． (2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． (4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导． 要点专项突破 [答案] A 要点一 求数列的通项公式 2.等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [解析] (1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 则b3＝8，b5＝32. 要点二 等差、等比数列的基本量运算 要点三 等差(等比)数列的判定或证明 4.已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn. 要点四 等差、等比数列的性质 5.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( ) A．30 B．45 C．90 D．186 [答案] C 要点五 数列求和 7.设数列{an}为1，2x，3x2，4x3，…，nxn－1，…(x≠0)，求此数列前n项的和． [分析] 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法． 要点六 归纳—猜想—证明 1．(2023·广西河池市高二期末(文))已知在前n项和为Sn的数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－an－2，则S101＝( ) A．－97 B．－98 C．－99 D．－100 [答案] C [解析] 由an＋1＝－an－2，有an＋an＋1＝－2，则S101＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a100＋a101)＝1－2×50＝－99.故选C. 即|时|巩|固 [答案] C [答案] B [解析] (1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1. 6．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. (2)依题意及(1)知，b1＝0，当2n≤m<2n＋1时，bm＝n，又26＝64<100,27＝128>100，故bm≤6. 当21≤m<22时，bm＝1，即b2＝b3＝1；当22≤m<23时，bm＝2，即b4＝b5＝b6＝b7＝2；当23≤m<24时，bm＝3，即b8＝b9＝…＝b15＝3；…；当26≤m<27时，bm＝6，即b64＝b65＝…＝b100＝6. 故S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100) ＝1×0＋2×1＋22×2＋23×3＋24×4＋25×5＋(100－64＋1)×6 ＝480. 所以S100＝1×0＋1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 7．(2024·天津卷)已知数列{an}是公比大于0的等比数列．其前n项和为Sn.若a1＝1，S2＝a3－1. (1)求数列{an}前n项和Sn； 【解析】 (1)设等比数列{an}的公 ... ...
