余弦定理

余弦定理 一.知识点 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 2.余弦定理的推论：，，． 3.设、、是的角、、的对边，则： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 4.利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 二.题型 类型一 已知两边和一角解三角形 例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A. 解析：方法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝，sin15°＝sin(45°－30°)＝. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－. 又b>a，∴B>A.∴角A为锐角． 由正弦定理，得sinA＝sinC＝×＝. ∴A＝30°. 变式训练1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、C和边a. 解析：方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°. 当a＝6时，由余弦定理sinA＝＝＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 类型二 已知三边解三角形 例2 在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，求A，B，C. 解析：(1)由余弦定理得 cosA＝＝＝， cosB＝＝＝， ∴A＝60°，B＝45°. ∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°. 变式训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC. 解析：∵a>c>b，∴A为最大角． 由余弦定理，有cosA＝＝－， ∴A＝120°.∴sinA＝. 由正弦定理，得sinC＝sinA＝×＝. 类型三 判断三角形的形状 例3 已知△ABC，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，满足acosA＋bcosB＝ccosC，判断△ABC的形状． 解析：由余弦定理得cosA＝，cosB＝， cosC＝，代入已知条件得 a·＋b·－c·＝0. 去分母整理得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0. 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 所以△ABC是直角三角形． 变式训练3　在△ABC中，若已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sinC＝2sinBcosA，试判断△ABC的形状． 解析：由正弦定理，可得sinB＝，sinC＝. 由余弦定理，得cosA＝. 代入sinC＝2sinBcosA，得c＝2b·. 整理得a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以a2＋b2－c2＝ab，即cosC＝＝. 故C＝.又a＝b，所以△ABC为等边三角形． 三.练习 1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B