(
课件网) 第二章 导数及其应用 §5 简单复合函数的求导法则 素养目标 定方向 1．了解复合函数的求导法则． 2．能求简单复合函数的导数． 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养. 必备知识 探新知 复合函数的概念 知识点 1 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_____和_____的复合函数，记作_____，其中u为中间变量． [提醒] 讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．然后从外向内逐层求导． y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) 想一想： 如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？ 提示：由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域． × × × √ 复合函数的求导法则 知识点 2 复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝_____＝_____. [f(φ(x))]′ f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x) 想一想： 任何两个函数都能复合吗？ 提示：只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合． C 2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝_____. [解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)， 又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20， 解得a＝1. 1 关键能力 攻重难 题|型|探|究 题型一 复合函数的概念 典例 1 [规律方法] 1.不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合． 2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择． 函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？ [解析] 函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合． 对点训练 求下列函数的导数： 题型二 复合函数的求导 典例 2 [分析] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导． [规律方法] 求复合函数导数的步骤 (1)函数y＝x2cos 2x的导数为( ) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 对点训练 (3)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f ′(0)的值为_____. B B 10 (1)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( ) 题型三 与复合函数有关的切线问题 典例 3 D 3 [分析] (1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角． (2)先设出切点坐标，再求函数在切点处的导数值，从而求得a的值． [规律方法] 解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个： (1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏． (2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点． 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_____. [解析] 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x. 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x. 因此，当x>0时，f ′(x)＝ex－1＋1，f ′(1)＝e0＋1＝2. 则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2， 所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 对点训练 2x－y＝0 易|错|警|示 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数． 典例 4 函数y＝xe1－2x的导数为_____. [错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x. [正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x ... ...
