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课件网) 第二章 导数及其应用 §6 用导数研究函数的性质 6．2 函数的极值 素养目标 定方向 1．通过实例了解极值的概念． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件． 3．会利用导数求函数的极大值、极小值． 1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． 2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养. 必备知识 探新知 极值点与极值的概念 知识点 1 极值是函数的一种局部性质 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_____点x0处的函数值，称x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_____x0处的函数值．称点x0为函数y＝f(x0)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．函数的极大值点与极小值点统称为_____，极大值与极小值统称为_____. 小于 大于 极值点 极值 [提醒] (1)极值点是指自变量x的值，即横坐标，极值是指函数值y，即纵坐标． (2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点． 想一想： 函数的极大值一定比极小值大吗？ 提示：不一定． 练一练： 1．函数y＝1＋3x－x3有( ) A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3 D [解析] y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)． 令y′＝0得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减；当－1
0，函数y＝1＋3x－x3在(－1,1)上单调递增；当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(1，＋∞)上单调递减．所以当x＝－1时，函数y＝1＋3x－x3有极小值－1；当x＝1时，函数y＝1＋3x－x3有极大值3. D 求函数y＝f(x)极值点的步骤 知识点 2 一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f(x)的导函数 f ′(x0)＝0，因此可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点． (1)求出导数 f ′(x)． (2)解方程 f ′(x)＝0. (3)对于方程 f ′(x)＝0的每一个实数根x0分析 f ′(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)确定极值点． ①若 f ′(x)在x0附近的符号“_____”，则x0为极大值点； ②若 f ′(x)在x0附近的符号“_____”，则x0为极小值点； ③若 f ′(x)在x0附近的符号“_____”，则x0不是极值点．设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数 f ′(x)，则 f ′(x0)＝0，反之不一定成立． 左正右负 左负右正 相同 练一练： 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)x＝0是函数y＝x3的极值点．( ) (2)可导函数一定存在极值．( ) (3)若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点．( ) (4)若x＝x0是可导函数y＝f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0.( ) × × × √ 2．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为_____. [解析] y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点， 故f(1)＝2＋m＝10，m＝8. 8 关键能力 攻重难 题|型|探|究 (1)函数f(x)＝ln x－x有( ) A．极小值为0，极大值为－1 B．极大值为－1，无极小值 C．极小值为－1，极大值为0 D．极小值为－1，无极大值 题型一 求函数的极值(点) 典例 1 B AD [规律方法] 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求导数 f′(x)． (3)解方程 f′(x)＝0得方程的根． (4)利用方程 f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号． (5)确定函数的极值，如果 f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值． (1) 当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数 ... ... 