(
课件网) 第二章 导数及其应用 §6 用导数研究函数的性质 6．3 函数的最值 素养目标 定方向 1．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值． 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．结合实例培养学生的直观想象素养． 2．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养. 必备知识 探新知 最值点 知识点 1 (1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_____ f(x0)． (2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_____ f(x0)． (3)函数的_____或在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得． 不超过 不小于 最值 练一练： 设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 C [解析] 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确． 最值 知识点 2 函数的_____与_____统称为函数的最值． 想一想： 函数的极值与最值有何区别？ 提示：极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质． 最大值 最小值 练一练： 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值．( ) (2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．( ) (3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值．( ) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值．( ) √ √ × × A 关键能力 攻重难 题|型|探|究 求下列各函数的最值． (1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]； 题型一 求函数的最值 典例 1 [解析] (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12； 当x＝1时，f(x)max＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2. [规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值． 特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较． 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数． [解析] (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 对点训练 x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －37 ? 极大值3 ? 极小值－5 ? 35 已知函数f(x)＝ln x－ax2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>0时，求f(x)在区间上的最大值． 题型二 含参数的函数最值问题 典例 2 [规律方法] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论． 2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决． 已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值． 对点训练 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b ... ...
