登陆21世纪教育 助您教考全无忧 3.4 基本不等式同步检测 一、选择题 1、下列函数中，y的最小值为4的是（ ） A、 B、 C、 D、y=ex+4e﹣x 答案：D 解析：解答：A中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到； B中不满足x＞0； C中，当且仅当时取等号，此时x不存在； 故选D． 分析：本题每个选项中都是可以利用基本不等式求最值的形式，只要验证“一正，二定，三相等”即可． 2. 命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件（ ） A、p真q假 B、p假q真 C、“p或q”为假 D、“p且q”为真 答案：A 解析：解答：在△ABC中， 若∠C＞∠B，根据大角对大边，可得c＞b 再由正弦定理边角互化，可得sinC＞sinB 反之也成立． 故命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件是真命题 由a＞b，当C=0时，ac2＞bc2不一定成立， 但若ac2＞bc2成立，C≠0，则a＞b成立 故命题q：a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件 即p真q假 故选A 分析：先判断p q与q p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 3. 设，则下列大小关系成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：D 解析：解答：f（x）==， 令t=，易得t＞0且t为增函数， 则f（x）=为减函数， 又由0＜a＜b，可得a＜＜＜b， 则有f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）， 故选D． 分析：根据题意，将f（x）变形为f（x）=，由单调性的性质分析可得f（x）=为减函数，由不等式的性质可得当0＜a＜b时，a＜＜＜b成立，结合f（x）的单调性，可得f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），分析选项可得答案． 4. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A、2 B、4 C、8 D、16 答案：B 解析：解答：因为，当且仅当，时等号成立， 又．正实数a，对任意正实数x，y恒成立， 所以． 解得16≥a≥4． 故a的最小值为4． 故选B． 分析：要使不等式恒成立，即左边的最小值大于等于8﹣a，将左边展开利用基本不等式求出左边的最小值，列出不等式解得． 5. 若0＜a＜b，且a+b=1，则下列各式中最大的是（ ） A、﹣1 B、log2a+log2b+1 C、log2b D、log2（a3+a2b+ab2+b3） 答案：C 解析：解答：∵0＜a＜b，且a+b=1 ∴b ∴log2b＞=﹣1 ∵0＜a＜b，且a+b=1 ∴a ∴log2a＜﹣1 ∴log2a+log2b+1＜log2b ∵0＜a＜b，且a+b=1 ∴a3+a2b+ab2+b3=a2+b2∴b﹣（a2+b2）=b（a+b）﹣a2+b2=ab﹣a2=a（b﹣a）＞0 ∴log2b＞log2（a3+a2b+ab2+b3） 故选C 分析：本题将﹣1变为，根据0＜a＜b，且a+b=1知b，a故log2b＞﹣1，log2a＜﹣1，故log2a+log2b+1＜log2b，故只需要比较b与a3+a2b+ab2+b3的大小，根据0＜a＜b，且a+b=1，知a3+a2b+ab2+b3=a2+b2，而b=b（a+b），0＜a＜b即得b＞a2+b2即可． 6. 已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ） A、 B、 C、（3，+∞） D、[3，+∞） 答案：C 解析：解答：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b= 又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）． 故选C． 分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b的取值范围． 7. 已知函数f（x）=2x反函数为f﹣1（x），若f﹣1（m）+f﹣1（n）=2，则的最小值为（ ） A、 B、 C、1 D、2 答案：C 解析：解答：由y=2x解得：x=log2y ∴函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，x＞0 由f﹣1（m）+f﹣1（n）=2得：log2m+log2n=2 即：log2mn=2 ∴mn=4 ∴ 则的最小值为1 故选C． ... ...
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