《5.2.3角平分线的性质及画法》自主学习单 ——— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男 预备性知识： 什么叫垂直平分线？有什么性质？ 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”） 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 活动1：基础性知识 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗 如果是，你能找出它的对称轴吗？ 如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么 角的对称性： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 【基础性练习】 例1 如图 5-19，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′连接CD和CD′. 你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由. 特别地，当CD⊥OA时(如图5-20)，CD′与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗 你能得到什么结论？ 理由：解：（1）CD=CD′ ∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠AOP=∠BOP. ∵点D和D′关于OP所在直线对称， ∴OD=OD′. ∵OC=OC, ∴△CDO≌△CD′O（SAS）. ∴CD=CD′. （2)当CD⊥OA时,CD'⊥OB. 理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称，点O，C都在OP上， 所以△OCD与△OCD'关于OP所在直线对称， 所以∠ODC=∠OD'C, 当CD⊥OA时,∠OD'C=∠ODC=90°，即CD' ⊥OB， 此时CD=CD'，还有(1)中的关系. 活动2：拓展性知识 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用格式： ∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD=PE 【拓展性练习】 例2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为 2.4 . 活动3：挑战性知识 如图,已知∠AOB,如何作出它的平分线？ 假设∠AOB 的平分线已作出，那么 (1)这条射线有什么特征 (2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢 与同伴进行交流. 解：（1）这条射线到角两边的距离相等. 解：(2)方法不唯一。举例： (方法一)用量角器量出∠AOB的度数，在角的内部用量角器画出 ∠AOC=1/2∠AOB,找射线OC上除点O外的任意一点即可。 (方法二)如图所示，用圆规取OD=OE，连接DE,用三角尺作DE 的中点F,点F就是所求。 【挑战性练习】 例3 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗？ 作法: 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和点E为圆心，以大于1/2DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点C. 3.作射线OC. 射线OC就是∠AOB的平分线. 理由详解： 如图所示，连接CE，CD， 由作图知OD=OE，CE=CD， 又∵OC=OC， ∴△OCE≌△OCD（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC, ∴OC平分∠AOB. 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流. 这两种尺规作图方法都是根据“SSS”判定三角形全等，根据全等三角形的性质得出角相等，过直线上一点作已知直线的垂线可以看成作一个平角的平分线. 回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？ 根据轴对称的性质、全等三角形的判定及性质等知识，运用了操作尝试、交流验证、猜测类比、找一找、画一画等方法. 经验：从轴对称的视角探索并感知平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验.（答案不唯一） 课堂小结 对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获 当堂检测 （必做题） 1.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是( C ) A.角平分线上的点到角两边的距离相等 B.ASA C.SSS D.AAS 2.如图所示，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C ,PD⊥OB于点D,则PC与PD 的大小关系是( B ) A. PC>PD B. PC=PD C. PC
