(
课件网) 第六章 立体几何初步 §4 平行关系 4.1 直线与平面平行 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线与平面平行的位置关系． 2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系. 通过本节的学习，培养学生掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物的素养. 必备知识 探新知 知识点1 直线与平面平行的性质定理 文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_____平行． 符号表示：l∥α，l β，α∩β＝a l∥a. 图形表示(如图所示) 作用：证明线线平行 交线 知识点2 直线与平面平行的判定定理 文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线_____，那么该直线与此平面平行． 符号表示：l α，a α，且l∥a l∥α. 图形表示(如图所示) 作用：证明直线与平面平行． 平行 关键能力 攻重难 ●题型一 线面平行的性质定理的应用 1.一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点， (1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？ (2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？ 【解析】 (1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE， 则PD，PF，DE，EF即为应画的线． (2)因为P为VA中点，F为AB中点，所以PF∥VB，同理DE∥VB，所以PF∥DE，所以P，D，E，F，四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF. [归纳提升] 归纳提升： 关于线面平行性质定理的应用 (1)如果题目中存在线面平行的条件，寻找或作出交线是前提，也是关键． (2)对应画线问题，要根据线面平行，确定出平行的直线后画出． 〉对点训练1 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_____. (1)题图 (2)如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上．求证：四边形MNPQ是平行四边形． (2)题图 (2)证明：∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN， ∴AB∥MN. 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形． ●题型二 线面平行的判定定理的应用 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B. 【证明】证法一：如图(1)，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连接EF， 则EF 平面AA1B1B， 又ME∥BC∥AD∥NF，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF. ∵MN 平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B. 证法二：如图(2)，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P， 则B1P 平面AA1B1B. ∵△NDC∽△NBP， ∴MN∥B1P. ∵MN 平面AA1B1B，B1P 平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B. [归纳提升] 归纳提升： 利用直线与平面的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等解题． 〉对点训练2 (1)在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_____. (2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．求证：CE∥平面PAD. 【答案】 (1)平面ABD与平面ABC (2)见解析 【解析】 (1)如图所示，取CD的中点E.连接AE，BE， 则EM∶MA＝1∶2， EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB. 又因为MN 平面ABD，MN 平面ABC， AB在平面ABD内，AB在平面ABC内， 所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC． (2)证明：取PA的中点H，连接EH，DH(图略)． 因为E为PB的中点， ... ...
