第六章 §6 6.2 素养作业 提技能 A 组·素养自测 一、选择题 1．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为( ) A．a∶b B．b∶a C．a3∶b3 D．b3∶a3 【答案】 B 【解析】 以a为轴的几何体的体积为，以b为轴的几何体的体积为，∴体积比为b∶a. 2．圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是( ) A． B．2π C．4π D．6π 【答案】 A 【解析】 V圆锥＝×π×12×2＝. 3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( ) A．18＋6 B．6＋2 C．24 D．18 【答案】 B 【解析】 V棱台＝×3×(2＋4＋)＝6＋2. 4．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( ) A．3 B． C．1 D． 【答案】 C 【解析】 本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．由条件知底面B1DC1的面积为侧面B1BCC1面积的一半，即为，而高为底面等边三角形的高，为，∴VA－B1DC1＝××＝1. 5．(2024·全国高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( ) A．2π B．3π C．6π D．9π 【答案】 B 【解析】 设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×即2＝， 故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 6．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1∶V2＝( ) A．7∶5 B．6∶5 C．8∶3 D．4∶3 【答案】 A 【解析】 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S， 所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.所以V1∶V2＝7∶5. 二、填空题 7．正方体的棱长都增加1 cm，它的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长是_____cm. 【答案】 1 【解析】 设正方体的棱长为x cm，则(x＋1)3＝8x3，解得x＝1. 8．(2024·全国高考甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为_____. 【答案】 【解析】 由题可得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r1－r2)， h乙＝＝2(r1－r2)， 所以＝＝＝＝. 9．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_____. 【答案】 【解析】 如图所示，则母线PA＝2，设圆锥底面半径为r，则有2πr＝×2π×2，则r＝1，则圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积是×12×＝. 三、解答题 10．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点． (1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ； (2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积． 【解析】 (1)证明：连接OC， ∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC， ∴QB⊥平面SOC． ∵OH 平面SOC，∴QB⊥OH. 又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB. (2)连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径， ∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，∴AB＝＝4. ∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2. ∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π. B 组·素养提升 一、选择题 1．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( ) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B. 2．三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( ) A．1∶1∶1 B．1∶1∶2 C．1∶2∶4 D．1∶4∶4 【答案】 C 【解析】 ... ...
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