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课件网) 三角形三条角平分线的性质与作图 八年级数学北师版·下册第一章三角形的证明 4 角平分线 第2课时 新课引入 在一个三角形居住区内有一所学校P，P到AB,BC,CA三边的距离都相等,请在该三角形居住区内标出学校P的位置. A B C 情境引入 新知探究 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的内角平分线 一 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 新知探究 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 结论：三角形三个角的平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢 新知探究 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点P在∠BCA的平分线上 A B C P F H D E I G 新知探究 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 新知探究 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 新知探究 例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,求AC的长; E D A B C （1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°,∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， 新知探究 (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 新知探究 M E N A B C P O D 例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离之和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 点O到12△ABC三边的距离之和为OM+ON+OE=3OM=12 新知探究 解：连接OC M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 新知探究 例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，点O到三角形三边的距离 相等，∴点O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， ∴∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠BOC＝180°－70°＝110°. 新知探究 三角形内角平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 应用：位置的选择问题. 课堂小结 课堂小测 1.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是（ ） A.点P为∠A，∠B两角平分线的交点 B.点P为∠A的平分线与AB的垂直平分线 的交点 C.点P为AC，AB两边上的高的交点 D.点P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 B 【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴点P在∠A的角平分线上， ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上. ∴点P为∠A的平分线与AB的垂直 ... ...
