【培优专项】四边形中的七大模型 （原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 四边形中的七大模型 【模型一 “中点四边形”模型】 模型特征： 条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 ①四边形EFGH是平行四边形； ②C四边形EFGH=AC+BD； ③S四边形EFGH = S四边形ABCD 结论证明： （结论①:四边形EFGH是平行四边形） 由图可知，四边形ABCD被AC分成两个三角形， ∵E,F 分别是AB,BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线，同理HG为△ACD的中位线， ∴EF//AC,EF= AC，HG//AC,HG= AC， ∴EF//HG,且EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形. (结论②:C四边形EFGH=AC+BD) ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴EF=GH,FG=EH, ∴C四边形EFGH=2(EF+FG). ∵EF,FG 分别是△ABC和△BCD的中位线， ∴EF= AC,FG= BD， ∴C四边形EFGH=2(EF+FG)=AC+BD. （结论③S四边形EFGH = S四边形ABCD） ∵EF 为△ABC的中位线，GF为△BCD的中位线，HG为△ACD的中位线， EH为△ABD的中位线， ∴S△BEF = S△ABC，S△CGF = S△BCD ，S△DHG = S△ACD， S△AHE = S△ABD. ∵S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD=2 S四边形ABCD， ∴S四边形EFGH=S四边形ABCD-(S△BEF+S△CGF+S△DHG+S△AHE)=S四边形ABCD-×2 S四边形ABCD= S四边形ABCD. 模型拓展： 拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形 类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形 条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形 【模型1 “中点四边形”模型】 【例1】（2024·山东德州·中考真题）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【变式1-1】（24-25八年级·江苏盐城·期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为. 【变式1-2】（24-25八年级·全国·课后作业）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 【变式1-3】（24-25八年级·河北石家庄·期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是_____形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【模型二 “十字架”模型】 模型特征： 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上，EF⊥GH 图示 结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF 结论证明： (结论：△ABF≌△DAE,BF=AE) 如右图,∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB=DA,∠BAF=∠ADE=90°. ∵AE⊥BF, ∴∠AGB=90°, ∴∠ABF+∠BAG=90°. ∵∠BAG+∠DAE=90°, ∴∠ABF=∠DAE. ∴△ABF≌△DAE(ASA), ∴BF=AE. 不过顶点型结论自主证明（提示 ：过点H作HM⊥BC,过点E作EL⊥CD,垂足分别为M,L, 证明△GHM≌△ ... ...