2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第16讲三角形中的二倍角解题策略 自主学习单 含答案

二倍角解题策略探究 知识技能梳理 二倍角综合问题，在几何倒角中扮演着重要的角色，同时也是中考热点问题，中考第 13 题填空压轴问题中，时常出现二倍角问题的相关条件。遇到二倍角，首先想到“导”，将 图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角度的位置，结合其他条件，合理 添加辅助线，构造等腰三角形或者对策图形等，综合运用熟悉的几何定理，将角度关系转化 为代数方程，或者关联勾股定理，全等/相似三角形等知识点，解决几何问题。 基本思想 1 翻折构造等腰三角形 A ① A ② ③ A ' α 2α α 2α α 2α B D B ' BC D C B D C E 结论：_____ _____ _____ 模块一 利用翻折思想解决二倍角问题 例题 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD ＝5，求 AD 的长． A B D C 【巩固练习】 1.如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B＝2∠C，其中 AB＝6，AC＝10， 则 BD= 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为 BC 边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB ＝4，求 AD 的长为_____． A B D C 3.如图，在△Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D，E 分别是边 AB，BC 上的点，DC 平分∠ADE， AD=1,BD=CD,∠B＝2∠ACD，求 CE 的长为_____． A D B E C 基本思想 2 延长构造新等腰 A ① A ② 2α α 2α α B C D B C D 结论：_____ _____ 模块二 向外构造解决二倍角问题 例题 2 如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2 6，求 BC 的长． A B C 思考：在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究 a，b，c 满足的关系． 【巩固练习】 1．如图，在△ABC 中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC 于点 D，AE 为 BC 边上的中线，BD＝3，DE＝2， A 求 AE 的长． B D E C 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，点 D为 BC 边上一点，BD＝2DC，点 E 在 AD 的延长线上， ∠ABC＝2∠DEC，AD·DE＝18，求 sin∠BAC 的值． A B D C 3 一副三角板按如图 1 放置，图 2为简图，D 为 AB 中点，E、F分别是一个三角板与另一个 E 三角板直角边 AC、BC 的交点，已知 AE=2，CE=5，连接 DE，M 为 BC 上一点，且满足∠CME=2 ∠ADE，EM= ． 基本思想 3 倍小角分大角 D ① ② A D A α 2α α B C 2α α B C 结论：_____ _____ 模块三 倍小角分大角，构造等腰三角形 AD 1 例题 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为边 AB 上一点，∠ACD＝2∠B， ＝ ， BD 3 求 cosB 的值． A D B C 【巩固练习】 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3， 求 AD 的长为 ． A B D C 2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求 BC 的长为 ． A D B C 3．如图，在△ABC 中，∠A=3∠B，D 为 AB 中点，∠ADC=45°，求∠A 的度数。 C A D B 【提升训练】 1.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=3，∠A= α ，则 tan2α 的值为__ __. 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 为边 BC 上一点，∠B＝2 ∠DAC，BD＝3，DC＝2，求 AD 的长为_____． A B D C 3.如图，在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，CD＝BD 且∠C＝2∠ABD，AE⊥BD，交 BD 的延长线于 点 E．若 BE＝8，AC＝11，则边 AB 的长为 ． 4..如图，在 ABC 中，点 E 在边 AC 上， EC EB， C 2 ABE， AD BE 交 BE 的延长 线于点 D，若 AC 22， BD 16，则 AB ． 5.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，D 是 BC 边上一点且满足∠C＝2∠BAD，CD＝3BD，E 是 AC 边上一点且满足∠ADB＝∠ADE，连接 BE 交 AD 于点 F，则 ＝ ． 6.已知△ABC，AB＝AC，AD⊥BC，点 F 在 AC 上，作 EF⊥AB，直线 EF 交 AB 于 E，交 BC 延 长 线 于 G ， 连 接 ED ， ∠ GFC ＝ 2 ∠ EDA ， DH ＝ CG ＝ 2 ， 则 AF 的 长 为 ．三角形中二倍角的解题 ... ...