导学案答案 【分析】1.由题意得，当 A、P、O共线时，AP最小，即可求解； 2.当点 M在线段 AC上时，MC有最小值，即可求解； 3.证明 AE⊥DF，得到点 P的运动路径是以 AD为直径的圆 R上，当 CPR共线时，CP最小，即可求解． 【解答】 解：1.由题意得，当 A、P、O共线时，AP最小， 则 AP＝AO﹣1＝2﹣1＝1， 故答案为：1； 2.如图，连接 AC ∵点 B，点 P关于直线 AM对称， ∴AB＝AP＝6， ∴点 P在以点 A为圆心，AB为半径的圆上运动， ∴当点 P在线段 AC上时，CP有最小值， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC= 2 + 2 =10， ∴CP的最小值为 CP＝AC﹣AP＝10﹣6＝4； 3.∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°， 在△ADE和△DCF中， = ∠ = ∠ ， = ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC， ∵∠ADE＝90°， 第 1页（共 16页） ∴∠ADP+∠DCF＝90°， ∴∠ADP+∠DAE＝90°， ∴∠APD＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥DF； 如图，连接 AC，BD交于点 O， ∵点 P在运动中保持∠APD＝90°， 取 AD的中点 R， ∴点 P的运动路径是以 AD为直径的圆 R上， 当 C、P、R共线时，CP最小， 此时 CP＝CR﹣PR＝CR 12AD= 2 + ( 1 )2 12 2AD= 100 + 25 5＝5 5 5， 即线段 CP的最小值为 5 5 5． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识， 灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．如图，等边△ABC边长为 6，E、F分别是边 BC、CA上两个动点且 BE＝CF．分别连接 AE、BF，交于 P点，则线段 CP长度的最小值为（ ） 【分析】先证△ABE和△BCF全等得∠BAE＝∠CBF，由此得∠APB＝120°，过点 C作 CH⊥AB于 H， 过点 B作 BO⊥BC交 CH的延长线于点 O，连接 OA，根据等边三角形的性质得∠BOA＝120°，OA＝ 第 2页（共 16页） OB= 2 3，OC= 4 3，以点 O为圆心，以 OB为半径作⊙O，在优弧 AB弧上取一点 M，连接 MB，MA， 连接OP，PC，则∠M＝60°，由此得∠M+∠APB＝180°，从而得点P始终在劣弧AB上运动，则OP= 2 3， 根据“两点之间线段最短”可得 CP的最小值． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°， 在△ABE和△BCF中， = ∠ = ∠ ， = ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABP+∠CBF＝∠ABC＝60°， ∴∠ABP+∠BAE＝60°， ∴∠APB＝180°﹣（∠ABP+∠BAE）＝120°， 过点 C作 CH⊥AB于 H，过点 B作 BO⊥BC交 CH的延长线于点 O，连接 OA，如图 1所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴OC是 AB的垂直平分线，∠BCO＝∠ACO= 12∠BCA＝30°， ∴OA＝OB，∠BOC＝∠AOC＝60°， ∴∠BOA＝120°， 在 Rt △OBC中，BC＝6，∠BCO＝30°，tan∠BCO= ， ∴OB＝BC tantan∠BCO＝6×tan30°= 2 3， ∴OC＝2 OB= 4 3， ∴OA＝OB= 2 3， 以点 O为圆心，以 OB为半径作⊙O，在优弧 上取一点 M，连接 MB，MA，连接 OP，PC，如图 2 所示： 第 3页（共 16页） 则∠M= 12∠BOA＝60°， ∵∠APB＝120°， ∴∠M+∠APB＝180°， ∴点 P始终在劣弧 上运动， 则 OP＝OB= 2 3， 根据“两点之间线段最短”得：OP+CP≥OC， ∴CP+2 3 ≥ 4 3， ∴CP≥ 2 3， ∴CP的最小值为 2 3． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练 掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点 P在劣弧 上运动是解决问题的难点． 5.如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接 CD，若∠CAB＝35°，求∠CDB 的度数． 【分析】证 A、B、C、D四点共圆，再由圆周角定理得∠CDB＝∠CAB，即可得出结论． 【解答】解：∵∠ADB＝∠ACB＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠CDB＝∠CAB， 第 4页（共 16页） ∵∠CAB＝35°， ∴∠CDB＝35°． ... ...
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