2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第7讲圆中的重要模型之圆幂定理模型 自主学习单（带详解）

罗湖区中考备考“百师助学”课程之第7讲《圆中的重要模型之圆幂定理模型》 自主学习单 罗湖实验学校 周涛 一、知识背景 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 二、技能梳理 模型1.相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：在⊙O中，弦AB与弦CD交于点E。 结论：． 证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． 模型2.双割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图，从圆外一点C引两条割线与⊙O分别交于点E、F、G、H。 结论：。 证明：∵四边形HGEF是圆的内接四边形，∴， ∵，∴ 又∵，∴， ∴ ，∴． 模型3.弦切角模型 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 条件：如图，直线BC与O相切于点B，点A、D在O上。 结论：∠CBD=∠BAD． 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴， ∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴， ∴， ∴， ∴． 模型4.切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图，直线BC与O相切于点B，CA是⊙O的割线，与O相交于点D、A。 结论：． 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴， ∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 模型5.托勒密定理模型 圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形， 结论：． 证明：如图，作交BD于点E． ∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴， ∴， ∵，∴； ∴．∴．∴． ∴，∴． 三、学习过程 模块一：相交弦模型、双割线模型 （一）典例精讲 例1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 例2．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． （二）跟踪练习 1．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据_____） ∴，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． 小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 2．（2024·山东·校考一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE． (1)求证：； (2)当时，求CE的长． 3．如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 模块二：弦切角模型、切割线模型 （一）典例精讲 例1．（2024·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直 ... ...