2025年罗湖区中考备考百师助学课程之第四讲《对角互补模型在中考数学中的应用》 教学设计

《对角互补模型在中考数学中的应用教学设计》--徐国雄 一、核心素养目标 1. 逻辑推理 学生能通过分析条件与结论的逻辑关联，识别对角互补模型中的隐藏关系（如全等三角形、相似比、圆周角定理），提升演绎推理能力。 通过“构造线段关系”或“转化角量”解决复杂几何问题，培养逻辑链条的严谨性与系统性。 2. 空间观念 借助几何画板动态演示图形旋转、点运动等变化过程，帮助学生建立二维与三维空间模型认知，强化对图形稳定属性的直观理解。 3. 数学建模 能根据题设特征判断适用模型（全等型/相似型/共圆型），并通过辅助线设计与代数化表达实现问题的数学化处理。 4. 问题解决与运算优化 灵活切换模型方法解决多步骤问题（如比例线段计算、参数取值范围问题），养成分类讨论意识。 教学重点与难点 教学重点 对角互补模型的核心条件识别。 教学难点 直角与45°、60°及一般角度下辅助线构造逻辑。 三、教学过程 模块一：全等型 模块一：典例精讲 例1 如图:已知OC平分∠AOB，， 的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，求证： （1）CD＝CE； （2）OD＋OE＝OC； （3） 例2 如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，求证： (1)CD＝CE； (2)OD＋OE＝2OC·cos （3） 模块一：跟踪练习 1.已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 2.如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，求证四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍. 模块二：相似型 模块二：典例精讲 例1.如图，已知∠AOB＝90 ，OC为∠AOB内部一条射线，∠DCE=90 ，∠DCE的两边分别交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝. 求证：CE=CD tan 例2.如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，求的值． 模块二：跟踪练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为　 　 ；当时，为　 　 ．（用含n的式子表示） 2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为线段AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰三角形时，求BP的长． 模块三：四点共圆--综合题 模块三：典例精讲 例1 如图，已知∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，求证：点A，B，C，D四点共圆． 例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（　　） A． B． C． D． 模块三：跟踪练习 如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC为+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为　　 ． 答案解析 模块一：典例精讲 例1 如图:已知OC平分∠AOB，， 的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，求证： （1）CD＝CE； （2）OD＋OE＝OC； （3） 答案解析： 如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N． 由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°． 所以∠MCD＝∠NCE， 从而△MCD≌△NCE（ASA）， 故CD＝CE． 易证四边形MONC为正方形． 所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝OC． 所以． 例2 如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，求证：： CD＝CE； OD＋OE＝2OC·cos （3） 答案解析： 如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M,N 易证△MCD≌△NCE ... ...