专题04 活用正余弦定理玩转三角形（7大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（苏教版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题04 活用正余弦定理玩转三角形 【题型归纳目录】 题型一：利用正余弦定理解三角形 题型二：三角形形状的判断 题型三：三角形的多解问题 题型四：周长与面积问题 题型五：实际应用问题 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 题型七：综合应用问题 【知识点梳理】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 题型一：利用正余弦定理解三角形 【例1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，是边上的点，，，，，则的长为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式1-2】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角（ ） A． B． C．或 D． 【变式1-3】（24-25高一下·甘肃兰州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则角等于（ ） A．或 B．或 C． D． 题型二：三角形形状的判断 【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【变式2-1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式2-2】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2-3】（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 题型三：三角形的多解问题 【例3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（ ） A．7 B． C．9 D．10 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ） A．10 B．8 C．5 D．4 题型四：周长与面积问题 【例4】（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式4-1】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，． (1)求的大小； (2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 【变式4-2】（ ... ...