专题05 解三角形图形类问题（6大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（苏教版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题05 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：同角余弦相等列方程 题型二：两次使用正弦定理 题型三：中线问题 题型四：角平分线问题 题型五：高问题 题型六：外接圆与内切圆问题 【知识点梳理】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：同角余弦相等列方程 【例1】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，． (1)求的值； (2)若测得，求待测径长． 【变式1-1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【变式1-2】（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知三角形ABC，， (1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值. (2)若，，求AD的长 题型二：两次使用正弦定理 【例2】（22-23高一下·广东湛江·期中）在中，是上的点，平分，. (1)求的值； (2)若，，求的长. 【变式2-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，为内一点，． (1)若，求； (2)若，求的面积． 【变式2-2】（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 题型三：中线问题 【例3】（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的中线，求的周长. 【变式3-1】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. (1)令，，用，表示； (2)证明：； (3)若，，，求∠MPN的余弦值. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏·期中）已知的内角的对边分别为，若，求中线的长． 题型四：角平分线问题 【例4】（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若的平分线与边交于点，且，求的面积. 【变式4-2】（23-24高一下·江西赣州·期末）在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且. (1)求； (2)若，，的平分线交于点，求的长. 题型五：高问题 【例5】（24-25高一下·湖北宜昌·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 【变式5-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，. (1)求； (2)若的边上的高等于，求. 【变式5-2】（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 题型六：外接圆与内切圆问题 【例6】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成 ... ...