专题06 解三角形范围与最值问题（5大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（苏教版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题06 解三角形范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：求周长范围与最值问题 题型二：求面积范围与最值问题 题型三：求长度及长度之和范围与最值问题 题型四：转化为角的范围 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【知识点梳理】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 题型一：求周长范围与最值问题 【例1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A； (2)若，求周长的取值范围. 【变式1-1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知三个内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，求的周长的取值范围. 【变式1-2】（23-24高一下·广东茂名·期中）设内角的对边分别为，已知，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)求的周长的取值范围． 题型二：求面积范围与最值问题 【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中，米，. (1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，、的长度分别是多少？ (2)求烧烤区占地面积的最大值. 【变式2-1】（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． (1)求证：的周长为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值． 【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域． (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 题型三：求长度及长度之和范围与最值问题 【例3】（23-24高一·浙江·期中）如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变. (1)当时，求被灯光照到的区域的面积； (2)求海岸线上被照到的线段长的最小值. 【变式3-1】（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求内切圆的半径； (3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【变式3-2】（24-25高一下·河北邯郸·期中）某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域ABE为观赏区，四边形区域BCDE为游乐场活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为游览区的主要道路（不考虑宽度），且，，，，． (1)求四边形的面积； (2)求游览区的主要道路的总长度的最大值． 题型四：转化为角的范围 【例4】（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值 ... ...