中小学教育资源及组卷应用平台 专题07 复数的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的几何意义 题型三：复数的最值问题 题型四：复数相等与共轭复数 题型五：复数的三角形式 题型六：复数模的综合应用 题型七：复数方程 题型八：复数的四则运算 【知识点梳理】 一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【例1】（23-24高一下·重庆·期中）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以复数的共轭复数的虚部为. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高一下·天津南开·期中）已知复数与都是纯虚数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 且为纯虚数， 所以，解得，所以. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由题意得，故. 故选：D 题型二：复数的几何意义 【例2】（24-25高一下·江苏南京·期中）复数对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】复数对应的点在第一象限. 故选：A 【变式2-1】（24-25高一下·北京大兴·期中）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【解析】由题意可得实部为，虚部为1，所以. 故选：D 【变式2-2】（24-25高一下·河北沧州·期中）复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 所以 所以在复平面内对应的点坐标为， 所以点位于第四象限， 故选：D 题型三：复数的最值问题 【例3】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高一下·山西长治·期末）已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，，的模长都为1，所以， 又的实部为，所以的虚部可能为， 所以，所以. 所以. 故答案为： 题型四：复数相等与共轭复数 【例4】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知复数满足，则 ． 【答案】 【解析】设，则， 所以，所以， 所以， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为： ... ...
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