2025年中考数学复习：三角函数与“12345”模型（无答案）

三角函数与“12345”模型 【知识储备】 一、三角函数核心知识点 1. 定义: 如右图, 在 Rt△ABC中, 所对的边分别为a，b，c . (1) 正弦: (2) 余弦: (3) 正切: 2.基本性质：(α为锐角) (1) 01; sin α+cos α=1. (2) tanα>0; tanα· tan(90°-α)=1. 3.坡比、坡度、坡角与斜率之间的关系 (1)坡比、坡度与坡角：如图1， i表示坡比或坡度； h表示铅直高度， l表示水平宽度， α表示坡角. (2) 等量关系: 如图2, k表示直线 y= kx+b(k≠0)的斜率, 则 (3)三位一体： i， α， k均可表示或衡量一条直线的倾斜程度. 4.其他常见特殊角的三角函数值(推导过程参考图3，图4) . 二、“12345”模型 1.观察图形：观察下面图1(正方形网格)，图2，图3中的边角关系： (1) 以 中的两个作为条件，可以推出第三个等式成立(图1). (2) 以 中的两个作为条件，可以推出第三个等式成立(图2). (3) 以 中的两个作为条件，可以推出第三个等式成立(图3). 2.模型总结 (1)图1简称为 图2简称为 图3简称为 (2)这三种情况通常被称为“12345”模型(“12345”模型有很多结论，上面是经常用到的三种). (3)上面结论也可以通过三角形内角平分线定理推出(如图4，图5，其中的虚线为三角形的角平分线). 【例题精讲】 【例1】如图,在正方形ABCD中, 点E在 BC上, 点F在AB上, 且 AF=BE , 点O是正方形对角线AC的中点, DE与CF交于点 G, DE与AC交于点 H, 若 则OG的长为 . 【例2】如图1, BC是半圆O的直径,点 A在⊙O上,点 D在 CA的延长线上, 于E，交⊙O于点H, 交 AB 于点I. 过点 A作∠DAF=∠ABO, 与DE 相交于点 F . (1) 求证: AF 为⊙O 的切线; (2) 当 AB=AD, 且 时，求 的值；(教师版提供2种解法) (3) 如图2,在(2) 的条件下,延长 FA, BC相交于G,若 ，求线段HI 的长.(教师版提供2种解法) 【素养提升】 1. 如图,在△ABC中, AC=3, BC=4, 点D, E分别在边CA,CB上,点F在△ABC 内. 若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA = 2.如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD交于点E， 则 3.如图,在正方形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于O,点E是OA的中点,延长BE交AD于点F,过点C作 CG⊥BF 于点 G,若 则 EF的长为 . 4. 如图,矩形纸片 ABCD中,将△AMP和△BPQ分别沿 PM 和PQ折叠( 点 A点 B 都与点 E 重合; 再将△CQD 沿DQ折叠, 点C落在EQ上的点 F 处. 如果 EF=7, 且∠DMF 的正弦值是 ,则DQ的长为 . 5.如图,⊙O与Rt△ABC的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点 C, D ,与边 BC相交于点 F, OA与CD相交于点 E ,连接 FE 并延长交 AC 于点 G ,若 则线段FG 的长为 6. 如图,在矩形ABCD中, ，点E 是边 BC的中点，点G 是边 BA 延长线上一点，CG 交边AD于F, 若∠CED=2∠G , 则AG的长为 . 7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是BC延长线上一点，DE交对角线AC于点G，连接FG, 若∠EDF=45°, ∠ADG的正切值为3, BE=4, 则DF的长为 . 8. 如图, 在正方形ABCD中, 点 E 在边 CD 上, 且, E于F, FG平分∠AFE 且交AD于G，AC交 FG于O，交BE于H.若正方形的边长为10，则OF的长为 . 9. 如图1, 内接于⊙O，其中AB是⊙O的直径，点 D为 上一点,BD与AC 相交于点 M,AD与BC的延长线相交于点 E. (1) 求证: BC·CE =AC·MC; (2) 如图2,若点M恰为AC的中点, 且∠CDE=45°, AD=4, 求CD的长. ... ...