专题9 构造中位线的方法 母题学大招12 取一边中点构造三角形中位线 1[中]如图,在△ABC 中,延长 BC 至 D,使得 过AC中点 E 作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD,连接DF.若AB=8,则DF的长为 ( ) A.3 B.4 子题练变式 2[中]如图,DE 是△ABC的中位线,F 是 DE 的中点,CF的延长线交AB 于点 G,若△CEF的面积为12cm ,则△DGF的面积为 ( ) B.6cm C.8cm D.9cm 3[中]如图,AD 是△ABC 的中线,M是AD 的中点,连接BM 并延长交AC 于点 N,若AC=4,则AN= . 4[中]如图,在 ABCD中,E是CD的中点,连接AE,BE,F是AE的中点,连接CF 交BE于点G,若BE=8,则GE的长为 . 5[中]如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,E,F分别为CA,CB上一点,且CE=CF,M,N分别为AF,BE的中点,求证: 母题学大招 13 在四边形中取对角线中点构造三角形中位线 [中]如图,在四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2.对于MN的长,给出了四种猜测:①MN=4;②MN=3;③MN=2;④MN=1.猜测正确的是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ C子题练变式 7[中]如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC 的中点. (1)若 AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长; (2)若∠BDC-∠ABD=90°,求证: 4EF . 母题学大招14 倍长线段构造三角形中位线 [2024 湖北武汉调研,中]如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点,求证:ME= 子题练变式 [2024山东泰安调研,中]在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点 D 是直线AB上的一动点(不与点A,B重合),连接CD,在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形 CDE，点 H 是 BD 的中点,连接 EH. 【问题发现】 (1)如图(1),当点 D 是AB 的中点时,线段EH与AD的数量关系是 ，EH 与AD 的位置关系是 . 【猜想论证】 (2)如图(2),当点 D 在边AB 上且不是AB 的中点时，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请仅就图(2)中的情况给出证明；若不成立，请说明理由. 母题学大招 15 角平分线与垂线组合构造三角形中位线 10[2023山东泰安质检,中]如图,在△ABC 中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点 E,点F是BC的中点，连接EF. (1)如图(1)，BE的延长线与AC 边相交于点D,求证: (2)如图(2),AB=9,AC=5,求线段EF的长. 子题练变式 11[中]如图,在△ABC中,点M 为BC 的中点,AD为△ABC 的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=6,AC=9,则MD的长为 . 1. B 【解析】如图,取BC 的中点G,连接EG.∵E 是AC的中点， 设 则 .四边形 EGDF 是平行四边形，∴ 故选 B. 2. A 【解析】如图,取CG的中点H,连接EH.∵E是AC的中点,∴EH 是 的 中 位 线 ， ∠HEF.∵F 是DE 的中点,∴DF=EF.又∵ 又∵ 故选A. 【解析】如图，取CN的中点 连接DE.∵ AD 是 的中线， ∴DE∥BN.∵ M 是AD 的中点,∴易知点N为AE中点,∴AN= 故答案为 4.2 【解析】取BE 的中点M,连接FM,CM,如图所示.∵F为AE的中点,M为 BE 的中点,∴MF= 四边形ABCD 是平行四边形，∴ 为CD的中点， FM,∴四边形 EFMC 是平行四边形,∴EG= 故答案为2. 5.【证明】如图,取AB的中点 G,连接MG,NG.∵M,N分别为AF,BE的中点, CF,AC⊥BC,∴AE=BF,NG⊥ BMG,∴MG= NG,∠MGN=90°,∴△MNG 是等腰直角三角形，. 6. C 【解析】如图,连接BD,取BD的中点G,连接MG,NG. ∵点 M,N 分别是AD,BC 的中点,∴MG 是△ABD 的中位线,NG 是△BCD 的中位线,∴ AB =2MG,DC=2NG.∵ AB =4,DC=2,∴MG=2,NG=1.由三角形三边关系得MG-NG
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